Рассмотрим дробь $\frac63$. Ее величина равна 2, так как $\frac63 =6:3 = 2$. А что произойдет, если числитель и знаменатель умножить на 2? $\frac63 \times 2=\frac{12}{6}$. Очевидно, величина дроби не изменилась, так $\frac{12}{6}$ как у также равно 2. Можно умножить числитель и знаменатель на 3 и получить $\frac{18}{9}$, или на 27 и получить $\frac{162}{81}$ или на 101 и получить $\frac{606}{303}$. В каждом из этих случаев величина дроби, которую мы получаем, разделив числитель на знаменатель, равна 2. Это означает, что не изменилась.
Такая же закономерность наблюдается и в случае других дробей. Если числитель и знаменатель дроби $\frac{120}{60}$ (равной 2) разделить на 2 (результат $\frac{60}{30}$), или на 3 (результат $\frac{40}{20}$), или на 4 (результат $\frac{30}{15}$) и так далее, то в каждом случае величина дроби остается неизменной и равной 2.
Это правило распространяется также на дроби, которые не равны целому числу .
Если числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{3}$ умножить на 2, мы получим $\frac{2}{6}$, то есть величина дроби не изменилась. И в самом деле, если вы разделите пирог на 3 части и возьмете одну из них или разделите его на 6 частей и возьмете 2 части, вы в обоих случаях получите одинаковое количество пирога. Следовательно, числа $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{6}$ идентичны. Сформулируем общее правило.
Числитель и знаменатель любой дроби можно умножить или разделить на одно и то же число, и при этом величина дроби не изменяется.
Это правило оказывается очень полезным. Например, оно позволяет в ряде случаев, но не всегда, избежать операций с большими числами.
Например, мы можем разделить числитель и знаменатель дроби $\frac{126}{189}$ на 63 и получить дробь $\frac{2}{3}$ с которой гораздо проще производить расчеты. Еще один пример. Числитель и знаменатель дроби $\frac{155}{31}$ можем разделить на 31 и получить дробь $\frac{5}{1}$ или 5, поскольку 5:1=5.
В этом примере мы впервые встретились с дробью, знаменатель которой равен 1 . Такие дроби играют важную роль при вычислениях. Следует помнить, что любое число можно разделить на 1 и при этом его величина не изменится. То есть $\frac{273}{1}$ равно 273; $\frac{509993}{1}$ равно 509993 и так далее. Следовательно, мы можем не разделять числа на , поскольку каждое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.
С такими дробями, знаменатель которых равен 1, можно производить те же арифметические действия, что и со всеми остальными дробями: $\frac{15}{1}+\frac{15}{1}=\frac{30}{1}$, $\frac{4}{1} \times \frac{3}{1}=\frac{12}{1}$.
Вы можете спросить, какой прок от того, что мы представим целое число в виде дроби, у которой под чертой будет стоять единица, ведь с целым числом работать удобнее. Но дело в том, что представление целого числа в виде дроби дает нам возможность эффективнее производить различные действия, когда мы имеем дело одновременно и с целыми, и с дробными числами. Например, чтобы научится складывать дроби с разными знаменателями . Предположим, нам надо сложить $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{5}$.
Мы знаем, что складывать можно только те дроби, знаменатели которых равны. Значит, нам нужно научиться приводить дроби к такому виду, когда их знаменатели равны. В этом случае нам опять пригодится то, что можно умножать числитель и знаменатель дроби на одно и то же число без изменения ее величины.
Сначала умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{3}$ на 5. Получим $\frac{5}{15}$, величина дроби не изменилась. Затем умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{5}$ на 3. Получим $\frac{3}{15}$, опять величина дроби не изменилась. Следовательно, $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{5}{15}+\frac{3}{15}=\frac{8}{15}$.
Теперь попробуем применить эту систему к сложению чисел, содержащих как целую, так и дробную части.
Нам надо сложить $3 + \frac{1}{3}+1\frac{1}{4}$. Сначала переведем все слагаемые в форму дробей и получим: $\frac31 + \frac{1}{3}+\frac{5}{4}$. Теперь нам надо привести все дроби к общему знаменателю, для этого мы числитель и знаменатель первой дроби умножаем на 12, второй - на 4, а третьей - на 3. В результате получаем $\frac{36}{12} + \frac{4}{12}+\frac{15}{12}$, что равно $\frac{55}{12}$. Если вы хотите избавиться от неправильной дроби , ее можно превратить в число, состоящее из целой и дробной частей: $\frac{55}{12} = \frac{48}{12}+\frac{7}{12}$ или $4\frac{7}{12}$.
Все правила, позволяющие проводить операции с дробями , которые мы с вами только что изучили, также справедливы и в случае отрицательных чисел. Так, -1: 3 можно записать как $\frac{-1}{3}$, а 1: (-3) как $\frac{1}{-3}$.
Поскольку как при делении отрицательного числа на положительное, так и при делении положительного числа на отрицательное в результате мы получаем отрицательные числа, в обоих случаях мы получим ответ в виде отрицательного числа. То есть
$(-1) : 3 = \frac{1}{3}$ или $1: (-3) = \frac{1}{-3}$. Знак минус при таком написании относится ко всей дроби целиком, а не отдельно к числителю или знаменателю.
С другой стороны, (-1) : (-3) можно записать как $\frac{-1}{-3}$, а поскольку при делении отрицательного числа на отрицательное число мы получаем положительное число, то $\frac{-1}{-3}$ можно записать как $+\frac{1}{3}$.
Сложение и вычитание отрицательных дробей проводят по той же схеме, что и сложение, и вычитание положительных дробей. Например, что такое $1- 1\frac13$? Представим оба числа в виде дробей и получим $\frac{1}{1}-\frac{4}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю и получим $\frac{1 \times 3}{1 \times 3}-\frac{4}{3}$, то есть $\frac{3}{3}-\frac{4}{3}$, или $-\frac{1}{3}$.
Ваш ребенок принес домашнее задание из школы, и вы не знаете как его решить? Тогда этот мини урок для вас!
Как складывать десятичные дроби
Десятичные дроби удобнее складывать в столбик. Чтобы выполнить сложение десятичных дробей, надо придерживаться одного простого правила:
- Разряд должен находиться под разрядом, запятая под запятой.
Как вы видите на примере, целые единицы находятся друг под другом, разряд десятых и сотых находится друг под другом. Теперь складываем числа, не обращая внимания на запятую. Что же делать с запятой? Запятая переносится на то место, где стояла в разряде целых.
Сложение дробей с равными знаменателями
Чтобы выполнить сложение с общим знаменателем, надо сохранить знаменатель без изменения, найти сумму числителей и получим дробь, которая будет являться общей суммой.
Сложение дробей с разными знаменателями методом нахождения общего кратного
Первое, на что надо обратить внимание – это на знаменатели. Знаменатели разные, не делятся ли одно на другое, являются ли простыми числами. Для начала надо привести к одному общему знаменателю, для этого существует несколько способов:
- 1/3 + 3/4 = 13/12, для решения этого примера нам надо найти наименьшее общее кратное число (НОК), которое будет делиться на 2 знаменателя. Для обозначения наименьшего кратного чисел a и b – НОК (а;b). В данном примере НОК (3;4)=12. Проверяем: 12:3=4; 12:4=3.
- Перемножаем множители и выполняем сложение полученных чисел, получаем 13/12 – неправильную дробь.
- Для того чтобы перевести неправильную дробь в правильную, разделим числитель на знаменатель, получим целое число 1, остаток 1 – числитель и 12 – знаменатель.
Сложение дробей методом умножения крест на крест
Для складывания дробей с разными знаменателями существует еще один способ по формуле “крест на крест”. Это гарантированный способ уровнять знаменатели, для этого вам надо числители перемножить со знаменателем одной дроби и обратно. Если вы только на начальном этапе изучения дробей, то этот способ самый простой и точный, как получить верный результат при сложении дробей с разными знаменателями.
Найдите числитель и знаменатель. Дробь включает два числа: число, которое расположено над чертой, называется числителем, а число, которое находится под чертой – знаменателем. Знаменатель обозначает общее количество частей, на которые разбито некоторое целое, а числитель – это рассматриваемое количество таких частей.
- Например, в дроби ½ числителем является 1, а знаменателем 2.
Определите знаменатель. Если две и более дроби имеют общий знаменатель, у таких дробей под чертой находится одно и то же число, то есть в этом случае некоторое целое разбито на одинаковое количество частей. Складывать дроби с общим знаменателем очень просто, так как знаменатель суммарной дроби будет таким же, как у складываемых дробей. Например:
- У дробей 3/5 и 2/5 общий знаменатель 5.
- У дробей 3/8, 5/8, 17/8 общий знаменатель 8.
Определите числители. Чтобы сложить дроби с общим знаменателем, сложите их числители, а результат запишите над знаменателем складываемых дробей.
- У дробей 3/5 и 2/5 числители 3 и 2.
- У дробей 3/8, 5/8, 17/8 числители 3, 5, 17.
Сложите числители. В задаче 3/5 + 2/5 сложите числители 3 + 2 = 5. В задаче 3/8 + 5/8 + 17/8 сложите числители 3 + 5 + 17 = 25.
Запишите суммарную дробь. Помните, что при сложении дробей с общим знаменателем он остается без изменений – складываются только числители.
- 3/5 + 2/5 = 5/5
- 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8
Если нужно, преобразуйте дробь. Иногда дробь можно записать в виде целого числа, а не обыкновенной или десятичной дроби. Например, дробь 5/5 легко преобразуется в 1, так как любая дробь, у которой числитель равен знаменателю, есть 1. Представьте пирог, разрезанный на три части. Если вы съедите все три части, то вы съедите целый (один) пирог.
- Любую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную; для этого разделите числитель на знаменатель. Например, дробь 5/8 можно записать так: 5 ÷ 8 = 0,625.
Если возможно, упростите дробь. Упрощенная дробь – эта дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей.
- Например, рассмотрим дробь 3/6. Здесь и у числителя, и у знаменателя есть общий делитель, равный 3, то есть числитель и знаменатель нацело делятся на 3. Поэтому дробь 3/6 можно записать так: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.
Если нужно, преобразуйте неправильную дробь в смешанную дробь (смешанное число). У неправильной дроби числитель больше знаменателя, например, 25/8 (у правильной дроби числитель меньше знаменателя). Неправильную дробь можно преобразовать в смешанную дробь, которая состоит из целой части (то есть целого числа) и дробной части (то есть правильной дроби). Чтобы преобразовать неправильную дробь, например, 25/8, в смешанное число, выполните следующие действия:
- Разделите числитель неправильной дроби на ее знаменатель; запишите неполное частное (целый ответ). В нашем примере: 25 ÷ 8 = 3 плюс некоторый остаток. В данном случае целый ответ – это целая часть смешанного числа.
- Найдите остаток. В нашем примере: 8 х 3 = 24; полученный результат вычтите из исходного числителя: 25 - 24 = 1, то есть остаток равен 1. В данном случае остаток – это числитель дробной части смешанного числа.
- Запишите смешанную дробь. Знаменатель не меняется (то есть равен знаменателю неправильной дроби), поэтому 25/8 = 3 1/8.
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Начнем с рассмотрения самого простого примера — сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. В данном случае необходимо просто произвести действия с числителями — сложить их или вычесть.
При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями знаменатель не изменяется!
Главное не производить никакие операции сложения и вычитания в знаменателе, но некоторые школьники забывают об этом. Чтобы лучше понять это правило, прибегнем к принципу визуализации, или говоря простыми словами, рассмотрим жизненный пример:
У Вас есть половина яблока — это ½ от всего яблока. Вам дают еще одну половину, то есть еще ½. Очевидно, что теперь у Вас целое яблоко (не считая, что оно разрезано 🙂). Поэтому ½ + ½ = 1, а не что-то другое, как, например, 2/4. Или же у Вас забирают эту половину: ½ — ½ = 0. В случае вычитания с одинаковыми знаменателями получается вообще особый случай — при вычитании одинаковых знаменателей, мы получим 0, а на 0 делить нельзя, и данная дробь не будет иметь смысла.
Приведем напоследок пример:
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Что же делать, если знаменатели разные? Для этого нам необходимо вначале привести дроби к одному знаменателю, а затем действовать как я указал выше.
Приводить дробь к общему знаменателю можно двумя способами. Во всех способах используется одно правило — при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число дробь не изменяется .
Существует два способа. Первый — самый простой — так называемый «крест-накрест». Он заключается в том, что первую дробь мы умножаем на знаменатель второй дроби (и числитель и знаменатель), а вторую дробь умножаем на знаменатель первой (аналогично и числитель и знаменатель). После этого действуем как в случае с одинаковыми знаменателями — теперь они действительно одинаковые!
Предыдущий способ универсален, однако в большинстве случаев у дробей знаменателей можно найти наименьшее общее кратное — число, на которое делится и первый знаменатель и второй, причем самое маленькое. В данном методе нужно уметь видеть такие НОКи, потому что специальный поиск их достаточно ёмкий и уступает по скорости методу «крест-накрест». Но в большинстве случаев НОКи довольно хороши видны, если набить глаз и достаточно тренироваться.
Надеюсь, что теперь Вы в совершенстве владеете методами сложения и вычитания дробей!
При сложении дробей могут встретиться разные случаи.
Такой случай наиболее простой. При сложении дробей с равными знаменателями складывают числители, а знаменатель оставляют тот же .
C помощью букв это правило сложения можно записать так:
Записывая ответ, проверьте нельзя ли полученную дробь сократить.
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно воспользоваться следующими правилами.
- Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) . Для этого найти наименьшее общее кратное знаменателей.
Пример. Сложить дроби.
Как найти общий знаменатель
Находим НОК (15, 18) .
НОК (15, 18) = 3 · 2 · 3 · 5 = 90
-
Найти дополнительные множители для каждой дроби. Для этого наименьший общий знаменатель
(НОК из пункта 1) делим по очереди на знаменатель каждой дроби.
Полученные числа и будут дополнительными множителями для каждой из дробей. Множители записываем над числителем дроби справа сверху.
90: 15 = 6 - дополнительный множитель для дроби
90: 18 = 5 - дополнительный множитель для дроби
Общий знаменатель нескольких дробей - это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, являющихся знаменателями заданных дробей.
К числителям заданных дробей нужно поставить дополнительные множители, равные отношению НОК и соответствующего знаменателя.
Числители заданных дробей умножаются на свои дополнительные множители, получаются числители дробей с единым общим знаменателем. Знаки действий («+» или «-») в записи дробей, приводимых к общему знаменателю, сохраняются перед каждой дробью. У дробей с общим знаменателем знаки действий сохраняются перед каждым приведенным числителем.
Только теперь можно сложить или вычесть числители и подписать под результатом общий знаменатель.
Внимание! Если в результирующей дроби у числителя и знаменателя есть общие множители, то дробь надо сократить. Неправильную дробь желательно перевести в смешанную дробь. Оставить результат сложения или вычитания, не сократив дробь, где это возможно, - это неоконченное решение примера!
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями . Правило. Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями , нужно их сначала привести к наименьшему общему знаменателю, а потом производить действия сложения или вычитания как с дробями с одинаковыми знаменателями.
Порядок действий при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями
- найти НОК всех знаменателей;
- проставить к каждой дроби дополнительные множители;
- умножить каждый числитель на дополнительный множитель;
- полученные произведения взять числителями, подписав под каждой дробью общий знаменатель;
- произвести сложение или вычитание числителей дробей, подписав под суммой или разностью общий знаменатель.
Так же производится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.
Дроби. Сложение дробей.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.
Чтоб сложить 2 дроби с одинаковыми знаменателями , необходимо сложить их числители, а знаменатели оставить без изменений. Сложение дробей , примеры :
Общая формула для сложения обыкновенных дробей и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:
Обратите внимание! Проверьте нельзя ли сократить дробь, которую вы получили, записывая ответ.
Сложение дробей с разными знаменателями.
Правила сложения дробей с разными знаменателями:
- приводим дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Для этого находим наименьшееобщее кратное (НОК) знаменателей;
- складываем числители дробей, а знаменатели оставляем не меняя;
- сокращаем дробь, которую получили;
- если получили неправильная дробь – преобразовываем неправильную дробь в смешанную дробь.
Примеры сложения дробей с разными знаменателями:
Сложение смешанных чисел (смешанных дробей).
Правила сложения смешанных дробей:
- приводим дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю (НОЗ);
- отдельно складываем целые части и отдельно дробные части, складываем результаты;
- если при сложении дробных частей получили неправильную дробь, выделяем целую часть из этой дроби и прибавляем ее к полученной целой части;
- сокращаем полученную дробь.
Пример сложения смешанной дроби :
Сложение десятичных дробей.
При сложении десятичных дробей процесс записывают «столбиком» (как обычное умножение столбиком), так чтобы одноимённые разряды находились друг под другом без смещения. Запятые обязательно выравниваем чётко друг под другом.
Правила сложения десятичных дробей:
1. Если нужно, уравниваем количество знаков после запятой. Для этого добавляем нули к необходимой дроби.
2. Записываем дроби так, чтобы запятые находились друг под другом.
3. Складываем дроби, не обращая внимания на запятую.
4. Ставим запятую в сумме под запятыми, дробей, которые складываем.
Обратите внимание! Когда у заданных десятичных дробей разное количество знаков (цифр) после запятой, то к дроби, у которой меньше десятичных знаков приписываем нужное количество нулей, для уравнения в дробях число знаков после запятой.
Разберёмся на примере . Найти сумму десятичных дробей:
Уравниваем число знаков после запятой в десятичных дробях. Дописываем 2 нуля справа к десятичной дроби 13,7 .
Если сложение десятичных дробей вы освоили достаточно хорошо, то недостающие нули можно дописывать в уме.
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Следующие правила применяются для правильных и неправильных дробей (смешанную дробь всегда можно перевести в неправильную дробь) с одинаковыми знаменателями.
Правило. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители и оставить тот же знаменатель.
Правило. Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби и оставить тот же знаменатель.
Следующие правила применяются для смешанных дробей с одинаковыми знаменателями.
Правило. Чтобы сложить смешанные дроби, необходимо отдельно сложить их целые и дробные части и записать сумму целых частей и сумму дробных частей смешанной дробью.
Если суммарная дробная часть окажется неправильной дробью, то те следует перевести в смешанную дробь, а выделенную из неправильной дроби целую часть добавить к сумме целых частей. Окончательную сумму целой и дробной частей записать смешанной дробью.
Например, сложить дроби:
Правило, Чтобы вычесть смешанные дроби, необходимо отдельно вычесть их целые и отдельно их дробные части и записать сумму полученных разностей смешанной дробью.
Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то от целой части уменьшаемого «одалживаем» 1, которую представляем как дробь с тем же знаменателем, что и у дробной части смешанных дробей, и с равным этому знаменателю числителем. Одолженную 1, выраженную неправильной дробью с одинаковыми числителем и знаменателем, суммируем с дробной частью уменьшаемого. После этого производим вычисления согласно правилу вычитания смешанных дробей.
Сложение обыкновенных дробей: правила, примеры, решения.
Одним из действий с обыкновенными дробями является сложение. В этой статье мы разберемся, как осуществляется сложение обыкновенных дробей . Сначала рассмотрим сложение дробей с одинаковыми знаменателями, после этого изучим сложение дробей с разными знаменателями и подробно разберем решения примеров. Дальше остановимся на сложении обыкновенной дроби и натурального числа. Наконец, поговорим о сложении трех, четырех и большего количества обыкновенных дробей.
Навигация по странице.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Сначала разберем сложение дробей с одинаковыми знаменателями . Получить правило сложения дробей нам поможет следующий пример.
Пусть на тарелку положили три восьмых доли яблока и после этого еще две восьмых доли такого же яблока. Эти действия можно описать так: 3/8+2/8 . В результате на тарелке оказалось 3+2=5 восьмых долей яблока, то есть, 5/8 . Таким образом, сложение обыкновенных дробей 3/8 и 2/8 дает обыкновенную дробь 5/8 .
Из рассмотренного примера можно сделать вывод, что сложение дробей с одинаковыми знаменателями дает дробь, числитель которой равен сумме числителей складываемых дробей, а знаменатель равен знаменателям исходных дробей.
Итак, мы получили правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями : при сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складываются, а знаменатель остается прежним.
Запишем это правило сложения дробей с помощью букв. Пусть нам нужно выполнить сложение обыкновенной дроби a/b и обыкновенной дроби c/b . Тогда, согласно правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями, справедливо равенство 
.
Осталось рассмотреть примеры сложения дробей с одинаковыми знаменателями .
Сложите обыкновенные дроби 5/23 и 7/23 .
Знаменатели складываемых дробей равны, поэтому в результате сложения будет дробь с таким же знаменателем 23 , а ее числитель будет равен сумме числителей складываемых дробей, то есть, 5+7=12 . Итак, сложение дробей 5/23 и 7/23 приводит нас к дроби 12/23 .
Кратко решение записывается так: 
.
.
Если сложение дробей дает сократимую дробь (смотрите сократимые и несократимые дроби), то нужно провести сокращение дроби. Если при этом полученная дробь неправильная (смотрите правильные и неправильные дроби), то нужно выделить из нее целую часть.
Вычислите сумму обыкновенных дробей 5/28 и 3/28 .
Применив правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями, получаем 
.
Очевидно, полученная дробь сократима, так как числитель и знаменатель делятся на 2 (при необходимости смотрите признак делимости на 2). Выполним сокращение дроби: 
.
Таким образом, сложение дробей 5/28 и 3/28 дает 2/7 .
Приведем краткую запись всего решения: 
.
Выполните сложение обыкновенных дробей 15/62 и 140/62 .
Проведем сложение дробей с одинаковыми знаменателями: 
.
Проверим, можно ли сократить полученную дробь. Для этого вычислим наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя, удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида: 155=62·2+31 , 62=31·2 , следовательно, НОД(155, 62)=31 . Таким образом, дробь 144/62 можно сократить на 31 , имеем 
.
Очевидно, дробь 5/2 неправильная. Выполнив выделение целой части из неправильной дроби 5/2 , получаем .
Итак, весь процесс сложения дробей с одинаковыми знаменателями 15/62 и 140/62 можно кратко записать так: .
.
Сложение дробей с разными знаменателями
Сложение дробей с разными знаменателями можно свести к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого достаточно складываемые дроби привести к общему знаменателю.
Исходя из этих соображений, получаем правило сложения дробей с разными знаменателями , которое содержит два шага:
- во-первых, складываемые дроби приводятся к общему знаменателю (обычно, к наименьшему общему знаменателю);
- во-вторых, выполняется сложение полученных дробей с одинаковыми знаменателями.
Рассмотрим решения примеров, в которых выполняется сложение двух дробей с разными знаменателями.
Сложите обыкновенные дроби 5/8 и 1/12 .
Знаменатели складываемых дробей разные, поэтому, сначала нужно выполнить приведение дробей к наименьшему общему знаменателю. Для этого находим НОК(8, 12)=24 , находим соответствующие дополнительные множители 24:8=3 и 24:12=2 дробей 5/8 и 1/12 , в результате получаем 
и 
.
Теперь складываем дроби 15/24 и 2/24 , имеем 
.
Таким образом, сложение дробей с разными знаменателями 5/8 и 1/12 дает дробь 7/24 .
Запишем все решение кратко: 
.
Заметим, если при сложении дробей получается сократимая дробь и (или) неправильная дробь, то нужно провести сокращение дроби и при возможности выделить целую часть.
Выполните сложение дробей с разными знаменателями 12/5 и 2/3 .
Для сложения дробей с разными знаменателями, сначала приведем их к наименьшему общему знаменателю: 
.
Теперь сложим дроби 36/15 и 10/15 , получаем 
.
Проверим, не является ли полученная дробь сократимой. Для этого вычислим наибольший общий делитель числителя и знаменателя, воспользовавшись алгоритмом Евклида: 46=15·3+1 , 15=1·15 , следовательно, НОД(46, 15)=1 . Таким образом, дробь 46/15 несократима.
Но дробь 46/15 очевидно неправильная, поэтому из нее нужно выделить целую часть. Так как 46:15=3 (ост. 1) , то .
На этом сложение дробей с разными знаменателями завершено. Вот краткое решение: 
.
.
Сложение обыкновенной дроби и натурального числа
Сложение натурального числа с правильной обыкновенной дробью не представляет интереса, так как такая сумма по определению есть смешанное число. Например, 
.
Сложение натурального числа с неправильной обыкновенной дробью можно проводить через сложение двух дробей, если натуральное число заменить дробью (смотрите натуральное число как дробь со знаменателем 1). К примеру, .
Однако, сложение натурального числа и неправильной дроби целесообразнее проводить, выделив из дроби целую часть. В результате сложение натурального числа и дроби сводится к сложению натурального числа и смешанного числа. Для примера вычислим сумму из предыдущего примера таким способом: 
. Рассмотренный подход требует меньше вычислительной работы по сравнению с предыдущим способом, что особенно заметно, когда числа велики.
Сложение трех и большего количества обыкновенных дробей
Разберем, как сложить три, четыре и большее количество обыкновенных дробей.
Сложение обыкновенных дробей обладает переместительным и сочетательным свойствами. Это следует из определения обыкновенных дробей, а также из того, как мы определили сложение обыкновенных дробей. Таким образом, сложение трех, четырех и т.д. дробей можно проводить аналогично сложению трех большего количества натуральных чисел.
Нам нужно вычислить сумму 
. Последовательно заменяя две соседние дроби их суммой, получим. Осталось лишь сократить полученную дробь, после чего выделить целую часть: 
.
.
Аналогично проводится сложение нескольких натуральных чисел и нескольких обыкновенных дробей.
Вычислите сумму 
.
Свойства сложения позволяют провести следующую группировку слагаемых: . Сумма трех натуральных чисел в скобках равна 14 , а сумма равна дроби 11/12 . Таким образом, .
.
Стоит отметить, что и правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями, и правило сложения дробей с разными знаменателями остаются справедливыми для трех и большего количества складываемых дробей.
Рассмотрим решение одного из предыдущих примеров в этом свете.
Сложите четыре обыкновенные дроби 5/12 , 13/12 , 1/12 и 1/12 .
Обратившись к правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями, получаем. Осталось лишь сократить полученную дробь, после чего выделить целую часть: .
.
Сложите три дроби с разными знаменателями 1/2 , 3/8 и 7/12 .
Сначала выполним приведение трех дробей к наименьшему общему знаменателю (смотрите приведение к общему знаменателю трех и большего количества дробей), получаем.
Осталось лишь закончить сложение: .
Возврат в магазин мобильного телефона Самозащита потребителя Возврат телефона Вернуть некачественный телефон в магазин не сложно, достаточно знать следующее: 1. Потребитель имеет право вернуть некачественный телефон продавцу и потребовать возврата уплаченных за […]