На теперешнем курсе семинары стали заключаються не в решении задач, а докладах на различную тематику. Думаю, будет верным оставлять их здесь в более или менее популярном виде.
Слово «солитон» происходит от английского solitary wave и означает именно уединенную волну (или говоря языком физики некоторое возбуждение).
Солитон возле острова Молокаи (Гавайский архипелаг)
Цунами - тоже солитон, но значительно более крупный. Уединенность не означает, что волна будет одна единственная на весь мир. Солитоны иногда встречаются группами, как возле Бирмы.
Солитоны в Андаманском море, омывающем берега Бирмы, Бенгалии и Тайланда.
В математическом смысле солитон является решением нелинейного уравнения в частных производных. Означает это следующее. Решать линейные уравнения что обыкновенные из школы, что дифференциальные человечество уже умеет достаточно давно. Но стоит возникнуть квадрату, кубу или еще более хитрой зависимости в дифференциальном уравнении от неизвестной величины и наработанный за все века математический аппарат терпит фиаско - человек пока не научился их решать и решения чаще всего угадываются или подбираются из различных соображений. Но Природу описывают именно они. Так нелинейные зависимости рождают практически все явления, чарующие глаз, да и позволяющие существовать жизни тоже. Радуга в своей математической глубине описывается функцией Ейри (правда, говорящая фамилия для ученого, чье исследование рассказывает о радуге?)
Сокращения человеческого сердца являются типичным примером биохимических процессов, под названием автокаталитические - такие, которые поддерживают сами свое существование. Все линейные зависимости и прямые пропорциональности хоть и просты для анализа, но скучны: в них ничего не меняется, ведь прямая остается одинаковой и в начале координат, и уходя в бесконечность. Более сложные функции имеют особенные точки: минимумы, максимумы, разломы и т. п., которые попав в уравнение создают бесчисленные вариации для развития систем.
Функции, объекты или явления, называющиеся солитонами, имеют два важных свойства: они стабильны во времени и сохраняют свою форму. Конечно, в жизни никто и ничто бесконечно долго им удовлетворять не будет, поэтому нужно сравнивать с аналогичными явлениями. Вернувшись к морской глади, рябь на её поверхности возникает и исчезает за доли секунды, большие волны, вздымаемые ветром взлетают и рассыпаются брызгами. Но цунами движется глухой стеной на сотни километров не теряя заметно в высоте волны и силе.
Есть несколько типов уравнений, приводящих к солитонам. Прежде всего, это задача Штурма-Лиувилля
В квантовой теории это уравнение известно под названием нелинейного уравнения Шредингера (Schrödinger) если функция имеет произвольный вид. В этой записи число называют собственным. Оно такое особенное, что его тоже находят при решении задачи, потому как не каждое его значение может дать решение. Роль собственных чисел в физике очень велика. Например, энергия является собственным числом в квантовой механике, переходы между различными системами координат так же не обходятся без них. Если потребовать, чтобы изменение параметра t
в не изменяли собственные числа (а t
может быть временем, например, или каким-то внешним влиянием на физическую систему), то придем к уравнению Кортевега-де Фриза (Korteweg-de Vries):
Есть и иные уравнения, но сейчас они не так важны.
В оптике фундаментальную роль играет явление дисперсии - зависимость частоты волны от её длины , а точнее так называемого волнового числа :
В простейшем случае она может быть линейна (, где - скорость света). В жизни ж часто получаем квадрат волнового числа, а то и что-то более хитрое. На практике, дисперсия ограничивает пропускную возможность оптоволокна, по которому только что бежали эти слова к вашему интернет-провайдеру с серверов WordPress’а. Но так же она позволяет пропускать по одному оптоволокну не один луч, а несколько. И в терминах оптики приведенные выше уравнения рассматривают простейшие случаи дисперсии.
Классифицировать солитоны можно по-разному. Например, солитоны, возникающие как некие математические абстракции в системах без трения и других потерь энергии зовут консервативными. Если рассматривать то же самое цунами на протяжении не очень длительного времени (а для здоровья так, должно быть, полезней), то оно будет консервативным солитоном. Иные солитоны существуют лишь благодаря потокам вещества и энергии. Их принято называть автосолитонами и дальше будем говорить именно об автосолитоне.
В оптике так же говорят про временные и пространственные солитоны. Из названия становится ясно, будем мы наблюдать солитон как некую волну в пространстве, или же это будет всплеск во времени. Временные возникают из-за балансировки нелинейных эффектов дифракцией - отклонения лучей от прямолинейного распространения. Например, посветили лазером в стекло (оптоволокно), и внутри лазерного луча показатель преломления стал зависеть от мощности лазера. Пространственные солитоны возникают из-за балансировки нелинейностей дисперсией.
Фундаментальный солитон
Как уже говорилось, широкополосность (то есть возможность передать много частот, а значит и полезной информации) волоконно-оптических линий связи ограничивается нелинейными эффектами и дисперсией, меняющими амплитуду сигналов и их частоту. Но с другой стороны, те же самые нелинейность и дисперсия могут привести к созданию солитонов, которые сохраняют свою форму и иные параметры существенно дольше чем все остальное. Естественным выводом отсюда является желание использовать сам солитон в качестве информационного сигнала (есть вспышка-солитон на конце волокна - передали единичку, нет - передали нолик).
Пример с лазером, изменяющим коэффициент преломления внутри оптоволокна по мере своего распространения достаточно жизненный, особенно если «запихнуть» в волокно тоньше человеческого волоса импульс в несколько ватт. Для сравнения много это или нет, типичная энергосберегающая лампочка мощностью в 9 Вт освещает письменный стол, но при этом размером с ладонь. В общем, мы не отойдем далеко от действительности предположив, что зависимость коэффициента преломления от мощности импульса внутри волокна будет выглядеть так:
После физических размышлений и математических преобразований различной сложности на амплитуду электрического поля внутри волокна можно получить уравнение вида
где и координата вдоль распространения луча и поперечная ему. Коэффициент играет важную роль. Он определяет соотношение между дисперсией и нелинейностью. Если он будет очень мал, то последнее слагаемое в формуле можно выкинуть в следствие слабости нелинейностей. Если он очень большой, то нелинейности задавив дифракцию будут единолично определять особенности распространения сигнала. Решить это уравнение пока пытались лишь при целых значениях . Так при результат особенно простой:
.
Функция гиперболического секанса хотя называется длинно, выглядит как обыкновенный колокольчик
Распределение интенсивности в поперечном сечении лазерного луча в форме фундаментального солитона.
Именно это решение и называется фундаментальным солитоном. Мнимая экспонента определяет распространение солитона вдоль оси волокна. На практике это все означает, что посветив на стенку мы увидели б яркое пятно в центре, интенсивность которого быстро спадала бы на краях.
Фундаментальный солитон как и все солитоны, возникающие с использованием лазеров, имеет определенные особенности. Во-первых, если мощность лазера окажется недостаточной, он не появится. Во-вторых, даже если где-то слесарь излишне перегнет волокно, капнет на него маслом или сделает иную пакость, солитон проходя сквозь поврежденную область возмутится (в физическом и переносном смыслах), но быстро вернется к своим изначальным параметрам. Люди и иные живые существа так же попадают под определение автосолитона и это умение возвращаться в спокойное состояние очень важно в жизни 😉
Потоки энергии внутри фундаментального солитона выглядят так:
Направление потоков энергии внутри фундаментального солитона.
Тут окружностью разделены области с различными направлениями потоков, а стрелками указано направление.
На практике можно получить несколько солитонов, если лазер имеет несколько каналов генерации, параллельных его оси. Тогда взаимодействие солитонов будет определяться степенью перекрытия их «юбок». Если рассеяние энергии не очень велико, можно считать, что потоки энергии внутри каждого солитона сохраняются во времени. Тогда солитоны начинают кружиться и сцепляться вместе. На следующем рисунке приведено моделирование столкновения двух троек солитонов.
Моделирование столкновения солитонов. На сером фоне изображены амплитуды (как рельеф), а на черном - распределение фазы.
Группы солитонов встречаются, цепляются и образуя Z-подобную структуру начинают вращаться. Еще более интересные результаты можно получить нарушением симметрии. Если расставить лазерные солитоны в шахматном порядке и выбросить один, структура начнет вращаться.
Нарушение симметрии в группе солитонов приводит к вращению центра инерции структуры в направлении стрелки на рис. справа и вращению вокруг мгновенного положения центра инерции
Вращений будет два. Центр инерции будет обращаться против часовой стрелки, а так же сама структура будет крутиться вокруг его положения в каждый момент времени. При чем периоды вращений будут равны, например, как у Земли и Луны, которая повернута к нашей планете лишь одной стороной.
Эксперименты
Столь необычные свойства солитонов обращают на себя внимание и заставляют задуматься о практическом применении уже около 40 лет. Сразу можно сказать, что солитоны можно использовать для сжатия импульсов. На сегодняшний день так можно получить длительность импульса до 6 фемтосекунд ( сек или дважды брать от секунды одну миллионную и результат поделить на тысячу). Отдельный интерес представляют солитонные линии связи, разработка которых идет уже довольно давно. Так Хасегавой было предложено следующую схему еще в 1983 году.
Солитонная линия связи.
Линия связи формируется из секций длиной около 50 км. Всего длина линии составляла 600 км. Каждая секция состоит из приемника с лазером передающих в следующий волновод усиленный сигнал, что позволило достичь скорости 160 Гбит/сек.
Презентация
Литература
- Дж. Лем. Введение в теорию солитонов. Пер. с англ. М.: Мир, - 1983. -294 с.
- Дж. Уизем Линейные и нелинейные волны. - М.: Мир, 1977. - 624 с.
- И. Р. Шен. Принципы нелинейной оптики: Пер. с англ./Под ред. С. А. Ахманова. - М.: Наука., 1989. - 560 с.
- С. А. Булгакова, А. Л. Дмитриев. Нелинейно-оптические устройства обработки информации// Учебное пособие. - СПб: СПбГУИТМО, 2009. - 56 с.
- Werner Alpers et. al. Observation of Internal Waves in the Andaman Sea by ERS SAR // Earthnet Online
- А. И. Латкин, А. В. Якасов. Автосолитонные режимы распространения импульса в волоконно-оптической линии связи с нелинейными кольцевыми зеркалами // Автометрия, 4 (2004), т.40.
- Н. Н. Розанов. Мир лазерных солитонов // Природа, 6 (2006). С. 51-60.
- О. А. Татаркина. Некоторые аспекты проектирования солитонных волоконно-оптических систем передачи // Фундаментальные исследования, 1 (2006), С. 83-84.
P. S. О диаграммах в .
СОЛИТОН это уединенная волна в средах различной физической природы, сохраняющая неизменной свою форму и скорость при распространении.От англ. solitary уединенная (solitary wave уединенная волна), «-он» типичное окончание терминов такого рода (например, электрон, фотон, и т.д.), означающее подобие частицы.
Понятие солитон введено в 1965 американцами Норманом Забуски и Мартином Крускалом, но честь открытия солитона приписывают британскому инженеру Джону Скотту Расселу (18081882). В 1834 им впервые дано описание наблюдения солитона («большой уединенной волны»). В то время Рассел изучал пропускную способность канала Юнион близь Эдинбурга (Шотландия). Вот как сам автор открытия рассказывал о нем: «Я следил за движением баржи, которую быстро тянула по узкому каналу пара лошадей, когда баржа неожиданно остановилась; но масса воды, которую баржа привела в движение, не остановилась; вместо этого она собралась около носа судна в состоянии бешенного движения, затем неожиданно оставила его позади, катясь вперед с огромной скоростью и принимая форму большого одиночного возвышения, т.е. округлого, гладкого и четко выраженного водяного холма, который продолжал свой путь вдоль канала, нисколько не меняя своей формы и не снижая скорости. Я последовал за ним верхом, и когда я нагнал его, он по-прежнему катился вперед со скоростью приблизительно восемь или девять миль в час, сохранив свой первоначальный профиль возвышения длиной около тридцати футов и высотой от фута до фута с половиной. Его высота постепенно уменьшалась, и после одной или двух миль погони я потерял его в изгибах канала. Так в августе 1834 мне впервые довелось столкнуться с необычайным и красивым явлением, которое я назвал волной трансляции…».
Впоследствии Рассел экспериментальным путем, проведя ряд опытов, нашел зависимость скорости уединенной волны от ее высоты (максимальной высоты над уровнем свободной поверхности воды в канале).
Возможно, Рассел предвидел ту роль, которую играют солитоны в современной науке. В последние годы своей жизни он завершил книгу Волны трансляции в водном, воздушном и эфирном океанах , опубликованную посмертно в 1882. Эта книга содержит перепечатку Доклада о волнах первое описание уединенной волны, и ряд догадок о строении материи. В частности, Рассел полагал, что звук есть уединенные волны (на самом деле это не так), иначе, по его мнению, распространение звука происходило бы с искажениями. Основываясь на этой гипотезе и используя найденную им зависимость скорости уединенной волны, Рассел нашел толщину атмосферы (5 миль). Более того, сделав предположение, что свет это тоже уединенные волны (что тоже не так), Рассел нашел и протяженность вселенной (5·10 17 миль).
По-видимому, в своих расчетах, относящихся к размерам вселенной, Рассел допустил ошибку. Тем не менее, результаты, полученные для атмосферы, оказались бы правильными, будь ее плотность равномерной. Расселовский же Доклад о волнах считается теперь примером ясности изложения научных результатов, ясности, до которой далеко многим сегодняшним ученым.
Реакция на научное сообщение Рассела наиболее авторитетных в то время английских механиков Джорджа Байделя Эйри (18011892) (профессора астрономии в Кембридже с 1828 по 1835, астронома королевского двора с 1835 по 1881) и Джорджа Габриэля Стокса (18191903) (профессора математики в Кембридже с 1849 по 1903) была отрицательной. Много лет спустя солитон был переоткрыт при совсем иных обстоятельствах. Интересно, что и воспроизвести наблюдение Рассела оказалось не просто. Участникам конференции «Солитон-82», съехавшимся в Эдинбург на конференцию, приуроченную к столетию со дня смерти Рассела и пытавшимся получить уединенную волну на том самом месте, где ее наблюдал Рассел, ничего увидеть не удалось, при всем их опыте и обширных знаниях о солитонах.
В 18711872 были опубликованы результаты французского ученого Жозефа Валентена Буссинеска (18421929), посвященных теоретическим исследованиям уединенных волн в каналах (подобных уединенной волне Рассела). Буссинеск получил уравнение:
Описывающее такие волны (u смещение свободной поверхности воды в канале, d глубина канала, c 0 скорость волны, t время, x пространственная переменная, индекс соответствует дифференцированию по соответствующей переменной), и определил их форму (гиперболический секанс, см . рис. 1) и скорость.
Исследуемые волны Буссинеск называл вспучиваниями и рассмотрел вспучивания положительной и отрицательной высоты. Буссинеск обосновал устойчивость положительных вспучиваний тем, что их малые возмущения, возникнув, быстро затухают. В случае отрицательного вспучивания образование устойчивой формы волны невозможно, как и для длинного и положительного очень короткого вспучиваний. Несколько позже, в 1876, опубликовал результаты своих исследований англичанин лорд Рэлей.
Следующим важным этапом в развитии теории солитонов стала работа (1895) голландцев Дидерика Иоганна Кортевега (18481941) и его ученика Густава де Вриза (точные даты жизни не известны). По-видимому, ни Кортевег, ни де Вриз работ Буссинеска не читали. Ими было выведено уравнение для волн в достаточно широких каналах постоянного поперечного сечения, носящее ныне их имя уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ). Решение такого уравнения и описывает в свое время обнаруженную Расселом волну. Основные достижения этого исследования состояли в рассмотрении более простого уравнения, описывающего волны, бегущие в одном направлении, такие решения более наглядны. Из-за того, что в решение входит эллиптическая функция Якоби cn , эти решения были названы «кноидальными» волнами.
В нормальной форме уравнение КдВ для искомой функции и имеет вид:
Способность солитона сохранять при распространении свою форму неизменной объясняется тем, что поведение его определяется двумя действующими взаимно противоположно процессами. Во-первых, это, так называемое, нелинейное укручение (фронт волны достаточно большой амплитуды стремится опрокинуться на участках нарастания амплитуды, поскольку задние частицы, имеющие большую амплитуду, движутся быстрее впереди бегущих). Во-вторых, проявляется такой процесс как дисперсия (зависимость скорости волны от ее частоты, определяемая физическими и геометрическими свойствами среды; при дисперсии разные участки волны движутся с разными скоростями и волна расплывается). Таким образом, нелинейное укручение волны компенсируется ее расплыванием за счет дисперсии, что и обеспечивает сохранение формы такой волны при ее распространении.
Отсутствие вторичных волн при распространении солитона свидетельствует о том, что энергия волны не рассеивается по пространству, а сосредоточена в ограниченном пространстве (локализована). Локализация энергии есть отличительное качество частицы.
Еще одной удивительной особенностью солитонов (отмеченной еще Расселом) является их способность сохранять свои скорость и форму при прохождении друг через друга. Единственным напоминанием о состоявшемся взаимодействии являются постоянные смещения наблюдаемых солитонов от положений, которые они занимали бы, если бы не встретились. Есть мнение, что солитоны не проходят друг через друга, а отражаются подобно столкнувшимся упругим шарам. В этом также проявляется аналогия солитонов с частицами.
Долго считалось, что уединенные волны связаны только с волнами на воде и изучались они специалистами гидродинамиками. В 1946 М.А.Лаврентьев (СССР), а в 1954 К.О.Фридрихс и Д.Г.Хайерс США опубликовали теоретические доказательства существования уединенных волн.
Современное развитие теории солитонов началось с 1955, когда была опубликована работа ученых из Лос Аламоса (США) Энрико Ферми, Джона Пасты и Стена Улама, посвященная исследованию нелинейных дискретно нагруженных струн (такая модель использовалась для изучения теплопроводности твердых тел). Длинные волны, бегущие по таким струнам, оказались солитонами. Интересно, что методом исследования в этой работе стал численный эксперимент (расчеты на одной из первых созданных к этому времени ЭВМ).
Открытые теоретически первоначально для уравнений Буссинеска и КдВ, описывающих волны на мелкой воде, солитоны к настоящему времени найдены также как решения ряда уравнений в других областях механики и физики. Наиболее часто встречающимися являются (ниже во всех уравнениях u искомые функции, коэффициенты при u некоторые константы)
нелинейное уравнение Шредингера (НУШ)
Уравнение было получено при изучении оптической самофокусировки и расщепления оптических пучков. Это же уравнение применялось при исследовании волн на глубокой воде. Появилось обобщение НУШ для волновых процессов в плазме. Интересно применение НУШ в теории элементарных частиц.
Уравнение sin-Гордона (СГ)
описывающее, например, распространение резонансных ультракоротких оптических импульсов, дислокации в кристаллах, процессы в жидком гелии, волны зарядовой плотности в проводниках.
Солитонные решения имеют и так называемые, родственные КдВ уравнения. К таким уравнениям относятся,
модифицированное уравнение КдВ
уравнение Бенджамина, Бона и Магони (ББМ)
впервые появившееся при описании боры (волны на поверхности воды, возникающей при открывании ворот шлюзов, при «запирании» течения реки);
уравнение Бенджамина Оно
полученное для волн внутри тонкого слоя неоднородной (стратифицированной) жидкости, расположенного внутри другой однородной жидкости. К уравнению Бенджамина Оно приводит и исследованиее трансзвукового пограничного слоя.
К уравнениям с солитонными решениями относится и уравнение Борна Инфельда
имеющее приложения в теории поля. Есть и другие уравнения с солитонными решениями.
Солитон, описываемый уравнением КдВ, однозначно характеризуется двумя параметрами: скоростью и положением максимума в фиксированный момент времени.
Солитон, описываемый уравнением Хироты
однозначно характеризуется четырьмя параметрами.
Начиная с 1960, на развитие теории солитонов повлиял ряд физических задач. Была предложена теория самоиндуцированной прозрачности и приведены экспериментальные результаты, ее подтверждающие.
В 1967 Крускалом и соавторами был найден метод получения точного решения уравнения КдВ метод так называемой обратной задачи рассеяния. Суть метода обратной задачи рассеяния состоит в замене решаемого уравнения (например, уравнения КдВ) системой других, линейных уравнений, решение которых легко находится.
Этим же методом в 1971 советскими учеными В.Е.Захаровым и А.Б.Шабатом было решено НУШ.
Приложения солитонной теории в настоящее время находят применение при исследованиях линий передачи сигналов с нелинейными элементами (диоды, катушки сопротивления), пограничного слоя, атмосфер планет (Большое красное пятно Юпитера ), волн цунами, волновых процессов в плазме, в теории поля, физике твердого тела, теплофизике экстремальных состояний веществ, при изучении новых материалов (например, джозефсоновских контактов, состоящих из разделенных диэлектриком двух слоев сверхпроводящего металла), при создании моделей решеток кристаллов, в оптике, биологии и многих других. Высказано мнение, что бегущие по нервам импульсы солитоны.
В настоящее время описаны разновидности солитонов и некоторые комбинаций из них, например:
антисолитон солитон отрицательной амплитуды;
бризер (дублет) пара солитон антисолитон (рис. 2);
мультисолитон несколько солитонов, движущихся как единое целое;
флюксон квант магнитного потока, аналог солитона в распределенных джозефсоновских контактах;
кинк (монополь), от английского kink перегиб.
Формально кинк можно ввести как решение уравнений КдВ, НУШ, СГ, описываемое гиперболическим тангенсом (рис. 3). Изменение знака решения типа «кинк» на противоположный дает «антикинк».
Кинки были обнаружены в 1962 англичанами Перрингом и Скирмом при численном (на ЭВМ) решении уравнения СГ. Таким образом, кинки были обнаружены раньше, чем появилось название солитон. Оказалось, что столкновение кинков не привело ни к их взаимному уничтожению, ни к последующему возникновению других волн: кинки, таким образом, проявили свойства солитонов, однако название кинк закрепилось за волнами такого рода.
Солитоны могут быть также двумерными и трехмерными. Изучение неодномерных солитонов осложнялось трудностями доказательства их устойчивости, однако в последнее время получены экспериментальные наблюдения неодномерных солитонов (например, подковообразные солитоны на пленке стекающей вязкой жидкости, изучавшиеся В.И.Петвиашвили и О.Ю.Цвелодубом). Двумерные солитонные решения имеет уравнение Кадомцева Петвиашвили, используемое, например, для описания акустических (звуковых) волн:
Среди известных решений этого уравнения нерасплывающиеся вихри или солитоны-вихри (вихревым является течение среды, при котором ее частицы имеют угловую скорость вращения относительно некоторой оси). Солитоны такого рода, найденные теоретически и смоделированные в лаборатории, могут самопроизвольно возникать в атмосферах планет. По своим свойствам и условиям существования солитон-вихрь подобен замечательной особенности атмосферы Юпитера Большому Красному Пятну.
Солитоны являются существенно нелинейными образованиями и столь же фундаментальны, как линейные (слабые) волны (например, звук). Создание линейной теории, в значительной мере, трудами классиков Бернхарда Римана (18261866), Огюстена Коши (17891857), Жана Жозефа Фурье (17681830) позволило решить важные задачи, стоявшие перед естествознанием того времени. С помощью солитонов удается выяснить новые принципиальные вопросы при рассмотрении современных научных проблем.
Андрей Богданов
Рассмотрим среду без диссипации Пусть пока нелинейность в среде квадратична, т. е. тогда вместо (19.1) будем искать уравнение, полученное Кортевегом и де Вризом для волн на поверхности жидкости:
Решения этого уравнения сейчас изучены очень подробно, в том числе и нестационарные, но мы будем обсуждать только самые простые из них, дополнив обсуждение качественными соображениями. Прежде всего поразмышляем над тем, к чему может привести добавление к уравнению простой волны слагаемого, описывающего дисперсионное расплывание. Как мы уже знаем, дисперсионное расплывание может компенсировать процесс опрокидывания волны, и тогда ее профиль стабилизируется, т. е. возможно существование стационарных бегущих волн, профиль которых не меняется во времени. Такие волны определены во всем пространстве и бегут с постоянной скоростью V, т. е. все переменные в волне являются функцией бегущей координаты Для них т. е. стационарные волны уравнения (19.14) описываются уравнением в обыкновенных производных или после интегрирования,
Таким образом, стационарным волнам уравнения Кортевега-де Вриза соответствует уравнение консервативного нелинейного осциллятора. Постоянную будем считать равной нулю (это всегда можно сделать, введя полую переменную), тогда уравнение (19.15) представляется в виде где Потенциальная энергия стационарных волн и их фазовый портрет приведены на рис. 19.6.
Существуют различные классы решений уравнения Кортевега-де Вриза. Можно выделить два из них.
1. Квазисинусоидальные колебания с малыми амплитудами (фазовые траектории вблизи состояния центра); для них нелинейность почти не сказывается (рис. 19.7 а).
2. Движение вблизи сепаратрисы и по самой сепаратрисе. Именно эти сильно нелинейные волны и представляют для нас интерес. Периодические движения вблизи сепаратрисы (рис. 19.76) называются кноидальными волнами. Сепаратрисе соответствует локализованное в пространстве решение в виде одиночного возвышения или уединенной волны - солитона (рис. 19.7 в) с амплитудой Это решение аналитически записывается в виде
где - характерная ширина солитона. Справедливость решения легко проверить прямой подстановкой его в уравнение (19.15) при
Рис. 19.6. Потенциальная энергия и фазовый портрет стационарных волн. Состояние равновесия центр. Солитон соответствует сепаратрисе
Рис. 19.7. Различные классы решений уравнения Кортевега-де Вриза и их соответствие фазового портрету стационарных волн: а - квазисинусоидальные колебания малой амплитуды - вблизи состояния центра; - кноидальные волны (периодические солитонные решетки) - вблизи сепаратрисы; в - солитон (уединенная волна) - сепаратриса
Используя при подстановке тождество получаем
Отсюда можно найти . Тождество (19.16) выполняется при любых , следовательно, коэффициенты при одинаковых степенях должны быть равны, т. е.
Итак, мы получили: - чем выше солитон, тем он уже; - чем солитон шире, тем он медленнее бежит и тем меньше его амплитуда. Таким образом, ширина, скорость и амплитуда солитона, описываемого уравнением Кортевега-де Вриза, однозначно связаны, т. е. семейство решений в виде солитонов однопараметрическое - меняем, например, V, получаем разные солитоны.
Почему солитоны, т. е. частные виды стационарных волн, интересны? Фактически по тон же причине, что и другие стационарные волны:
нестационарные возмущения довольно широкого класса в процессе распространения асимптотически приближаются к солитону! Экспериментально этот факт был обнаружен давно; еще более ста лет назад Скотт-Рассел наблюдал солитон и поэтично описал его .
Новая жизнь солитона - одного из самых привлекательных объектов современной физики - в значительной степени связала с построением точных решении многих уравнений нелинейной теории волн. При их построении большую роль сыграл так называемый метод обратной задачи рассеяния . Этот метод берет начало от работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры , которые в 1967 г. установили связь между уравнениями Кортевега-де Вриза и Шредингера. Поясним кратко суть этой связи. Как известно , уравнение Шредингера в случае, когда потенциал положительно определен и спадает до пуля при имеет финитные решения, стремящиеся вместе со своими производными к нулю на бесконечности, а спектр собственных значений дискретен. Рассмотрим уравнение Шредингера
где зависит от времени как от параметра. Тогда и собственные значения, вообще говоря, будут зависеть от Покажем, что собственные значения не будут зависеть от если функция удовлетворяет уравнению Кортевега-де Вриза (точнее, если - любое положительно определенное решение уравнения Кортевега-де Вриза, спадающее на , то соответствующий ему спектр собственных значений остается неизменным). Из уравнения (19.17) находим
Подставим это выражение в уравнение (19.14). После вычислений получим
где штрихи означают соответствующие производные по х.
Проинтегрируем левую и правую части (19.18) по х от до При этом правая часть получившегося уравнения обратится в нуль,
поскольку собственные функции (вместе со своими производными) дискретного спектра уравнения Шредингера исчезают на бесконечности. Таким образом,
Поскольку в силу нормировки то Так как решение произвольно, спектр нам неизвестен. Покажем теперь, что если - солитон, то уравнение Шредингера имеет единственное собственное значение. Когда - солитон, уравнение (19.17) принимает вид
Здесь Дискретные собственные значения уравнения Шредингера даются формулой (см. , § 23, задача 4)
где причем должно быть Подставляя в выражение для выписанные выше значения и а, получим т. е. существует единственное собственное значение Итак, мы получили, что: а) спектр собственных значений не зависит от хотя изменяется со временем; б) каждому собственному значению соответствует солитон. Отсюда следует вывод: любое локализованное положительное возмущение представляет собой набор солитонов и, если достаточно долго подождать, эти солитоны сформируются и возмущение превратится в последовательность солитонов, выстроившихся по амплитуде (рис. 19.8 в). Поскольку «соли-тонный состав» - набор солитонов, из которых состоит возмущение - не зависит от времени, солитоны могут лишь меняться местами в пространстве. Число солитонов зависит от формы начального возмущения; вершины их лежат на одной прямой, так как расстояние, пройденное каждым солитоном, пропорционально его скорости, а последняя, как мы уже знаем, пропорциональна амплитуде.
Такой метод решения уравнения Кортевега-де Вриза называется методом обратной задачи рассеяния, поскольку мы решаем задачу на собственные значения для уравнения Шредингера с потенциалом где играет роль параметра. В квантовомеханическом Если падающая из бесконечности волна плоская с единичной амплитудой, то амплитуда отраженной волны называется коэффициентом отражения. Мы искали сам потенциал. Это и есть решение обратной задачи квантовой теории рассеяния: по известному При дисперсионные эффекты несущественны: основную роль играет нелинейность, приводящая к формированию коротких импульсов, и лишь потом сказывается дисперсия, уравновешивающая процесс (рис. 19.86). Именно так начальное возмущение большей амплитуды распадается на последовательность солитонов, вершины которых лежат на одной прямой (на рис. 19.8 в приведены результаты численных расчетов, взятые из работы ).
Аннотация . Доклад посвящен возможностям солитонного подхода в надмолекулярной биологии, прежде всего, для моделирования широкого класса естественных волнообразных и колебательных движений в живых организмах. Автором выявлено множество примеров существования солитоноподобных надмолекулярных процессов («биосолитонов») в локомоторных, метаболических и иных явлениях динамической биоморфологии на самых разных линиях и уровнях биологической эволюции. Под биосолитонами понимаются, прежде всего, характерные одногорбые (однополярные) локальные деформации, движущиеся вдоль биотела с сохранением своей формы и скорости.
Солитоны, называемые иногда «волновыми атомами», наделены необычными с классической (линейной) точки зрения свойствами. Они способны к актам самоорганизации и саморазвития: автолокализации; улавливания энергии; размножения и гибели; образования ансамблей с динамикой пульсирующего и иного характера. Солитоны были известны в плазме, жидких и твердых кристаллах, классических жидкостях, нелинейных решетках, магнитных и других полидоменных средах, и пр. Обнаружение биосолитонов свидетельствует, что в связи со своей механохимией живое вещество является солитонной средой с разнообразным физиологическим использованием солитонных механизмов. Возможна исследовательская охота в биологии за новыми видами солитонов – бризерами, вобблерами, пульсонами и т.п., выведенными математиками на «кончике пера» и лишь затем обнаруживаемыми физиками в природе. Доклад базируется на монографиях: С.В.Петухов «Биосолитоны. Основы солитонной биологии», 1999; С.В.Петухов «Бипериодическая таблица генетического кода и число протонов», 2001.
Солитоны являются важным объектом современной физики. Интенсивное развитие их теории и приложений началось после опубликования в 1955 году Ферми, Паста и Уламом работы по компьютерному расчету колебаний в простой нелинейной системе из цепи грузиков, связанных нелинейными пружинками. Вскоре были развиты необходимые математические методы, позволяющие решать солитонные уравнения, представляющие собой нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных. Солитоны, называемые иногда «волновыми атомами», обладают свойствами волн и частиц одновременно, но не являются в полном смысле ни тем, ни другим, а составляют новый объект математического естествознания. Они наделены необычными с классической (линейной) точки зрения свойствами. Солитоны способны к актам самоорганизации и саморазвития: автолокализации; улавливанию энергии, приходящей извне в «солитонную» среду; размножению и гибели; образованию ансамблей с нетривиальной морфологией и динамикой пульсирующего и иного характера; самоусложнению этих ансамблей при поступлении в среду дополнительной энергии; преодолению тенденции к беспорядку в содержащих их солитонных средах; и пр. Их можно трактовать как специфическую форму организации физической энергии в веществе, и соответственно можно говорить о «солитонной энергии» по аналогии с известными выражениями «волновая энергия» или «вибрационная энергия». Солитоны реализуются как состояния особых нелинейных сред (систем) и имеют принципиальные отличия от обычных волн. В частности, солитоны зачастую представляют собой устойчивые автолокализованные сгустки энергии с характерной формой одногорбой волны, движущейся с сохранением формы и скорости без диссипации своей энергии. Солитоны способны к неразрушающим столкновениям, т.е. способны при встрече проходить сквозь друг друга без нарушения своей формы. Они имеют многочисленные применения в технике.
Под солитоном обычно понимается уединенный волноподобный объект (локализованное решение нелинейного дифференциального уравнения в частных производных, принадлежащего к определенному классу так называемых солитонных уравнений), который способен существовать без диссипации своей энергии и при взаимодействии с другими локальными возмущениями всегда восстанавливает свою первоначальную форму, т.е. способен к неразрушающим столкновениям. Как известно, солитонные уравнения «возникают самым естественным образом при изучении слабо нелинейных дисперсионных систем различных типов в различных пространственных и временных масштабах. Универсальность этих уравнений оказывается настолько поразительной, что многие были склонны видеть в этом нечто магическое… Но это не так: дисперсионные слабо затухающие или незатухающие нелинейные системы ведут себя одинаково, независимо от того, встречаются ли они при описании плазмы, классических жидкостей, лазеров или нелинейных решеток» . Соответственно, известны солитоны в плазме, жидких и твердых кристаллах, классических жидкостях, нелинейных решетках, магнитных и других полидоменных средах, и пр. (Движение солитонов в реальных средах зачастую не носит абсолютно недиссипативного характера, сопровождаясь малыми потерями энергии, что теоретиками учитывается посредством добавления малых диссипативных членов в солитонные уравнения).
Отметим, что живое вещество пронизано множеством нелинейных решеток: от молекулярных полимерных сеток до надмолекулярных цитоскелетов и органического матрикса. Перестройки этих решеток имеют важное биологическое значение и вполне могут вести себя солитоноподобным образом. Кроме того, солитоны известны как формы движения фронтов фазовых перестроек, например, в жидких кристаллах (см., например, ). Поскольку многие системы живых организмов (в том числе, жидкокристаллические) существуют на грани фазовых переходов, то естественно полагать, что фронты их фазовых перестроек в организмах также будут зачастую двигаться в солитонной форме.
Еще первооткрыватель солитонов Скотт Рассел в прошлом веке экспериментально показал , что солитон выступает как концентратор, ловушка и транспортер энергии и вещества, способный к неразрушающим столкновениям с другими солитонами и локальными возмущениями. Очевидно, что эти особенности солитонов могут быть выгодны для живых организмов, а потому биосолитонные механизмы могут специально культивироваться в живой природе механизмами естественного отбора. Перечислим некоторые из таких выгод:
- - 1) самопроизвольное улавливание энергии, вещества и пр., а также их самопроизвольная локальная концентрация (автолокализация) и бережная, без потерь транспортировка в дозированной форме внутри организма;
- - 2) легкость управления потоками энергии, вещества и пр. (при их организации в солитонной форме) за счет возможного локального переключения характеристик нелинейности биосреды с солитонного на несолитонный вид нелинейности и обратно;
- - 3) развязка для множества тех одновременно и в одном месте протекающих в организме, т.е. накладывающихся друг на друга процессов (локомоторных, кровеобеспечивающих, метаболических, ростовых, морфогенетических и пр.), которые нуждаются в относительной независимости своего протекания. Эта развязка может быть обеспечена именно способностью солитонов к неразрушающим столкновениям.
Впервые проведенное нами исследование надмолекулярных кооперативных процессов в живых организмах с солитонной точки зрения выявило наличие в них множества макроскопических солитоноподобных процессов . Предметом изучения явились, прежде всего, непосредственно наблюдаемые локомоторные и иные биологические движения, высокая энергоэкономичность которых давно предполагалась биологами. На первом этапе исследования нами было обнаружено, что у множества живых организмов биологические макродвижения зачастую имеют солитоноподобный вид характерной одногорбой волны локальной деформации, движущейся вдоль живого тела с сохранением своей формы и скорости и иногда демонстрирующей способность к неразрушающим столкновениям. Эти «биосолитоны» реализуются на самых разных ветвях и уровнях биологической эволюции у организмов, различающихся по размерам на несколько порядков величины.
В докладе представлены многочисленные примеры таких биосолитонов. В частности, рассмотрен пример ползания улитки Helix, происходящего за счет пробегания по ее телу одногорбой волнообразной деформации с сохранением своей формы и скорости. Подробные регистрации этого вида биологического движения взяты из книги . В одном варианте ползания (при одной «походке») у улитки реализуются деформации локального растяжения, идущие по опорной поверхности ее тела спереди назад. При другом, более медленном варианте ползания по той же телесной поверхности проходят деформации локального сжатия, идущие в обратном направлении от хвостовой части к голове. Оба названных типа солитонных деформаций прямой и ретроградный могут реализовываться у улитки одновременно со встречными столкновениями между ними. Подчеркнем, что их столкновение носит неразрушающий характер, характерный для солитонов. Другими словами, после столкновения они сохраняют форму и скорость, то есть свою индивидуальность: «присутствие больших ретроградных волн не влияет на распространение нормальных и много более коротких прямых волн; оба типа волн распространялись без какого-либо признака взаимного вмешательства» . Этот биологический факт известен с начала века, хотя до нас никогда исследователями не связывался с солитонами.
Как подчеркивали Gray и другие классики исследования локомоций (пространственных перемещений у организмов), последние являются в высокой степени энергоэкономичными процессами. Это существенно для жизненно важного обеспечения организму возможности перемещаться без утомления на длительные дистанции в поисках пищи, спасения от опасности и т.п. (организмы вообще крайне бережно обращаются с энергией, запасать которую им вовсе не просто). Так, у улитки солитонная локальная деформация тела, за счет которой осуществляется перемещение ее тела в пространстве, происходит только в зоне отрыва тела от поверхности опоры. А вся контактирующая с опорой часть тела является недеформированной и покоится относительно опоры. Соответственно, во все время протекания по телу улитки солитоноподобной деформации такая волнообразная локомоция (или процесс массопереноса) не требует энергетических затрат на преодоление сил трения улитки об опору, являясь в этом плане максимально экономной. Конечно, можно предполагать, что часть энергии при локомоции все-таки диссипируется на взаимное трение тканей внутри тела улитки. Но если эта локомоторная волна является солитоноподобной, то она обеспечивает также минимизацию потерь на трение внутри тела. (Насколько нам известно, вопрос о потерях энергии на внутрителесное трение при локомоциях недостаточно изучен экспериментально, однако, вряд ли организм прошел мимо возможности минимизировать их). При рассмотренной организации локомоции все (или почти все) энергозатраты на нее сводятся к затратам на начальное создание каждой такой солитоноподобной локальной деформации. Именно физика солитонов дает предельно энергоэкономичные возможности обращения с энергией. И ее использование живыми организмами выглядит закономерным, тем более, что окружающий мир насыщен солитонными средами и солитонами.
Нельзя не отметить, что, по крайней мере, с начала века исследователи представляли волнообразные локомоции как некоторый эстафетный процесс. В ту пору «досолитонной физики» естественной физической аналогией такого эстафетного процесса был процесс горения, при котором локальная телесная деформация передавалась от точки к точке подобно поджиганию. Это представление об эстафетных диссипативных процессах типа горения, называемых в наши дни автоволновыми, было наилучшим из возможного в то время и оно давно стало привычным для многих. Однако сама физика не стояла на месте. И в ней в последние десятилетия развилось представление о солитонах как новом типе недиссипативных эстафетных процессов высшей энергоэкономичности с немыслимыми прежде, парадоксальными свойствами, что дает основу для нового класса нелинейных моделей эстафетных процессов.
Одно из важных преимуществ солитонного подхода перед традиционным автоволновым при моделировании процессов в живом организме определено способностью солитонов к неразрушающим столкновениям. Действительно, автоволны (описывающие, например, перемещение зоны горения вдоль горящего шнура) характеризуются тем, что за ними остается зона невозбудимости (сгоревший шнур), а потому две автоволны при столкновении друг с другом прекращают свое существование, не имея возможности двигаться по уже «выгоревшему участку». Но на участках живого организма одновременно протекает множество биомеханических процессов – локомоторных, кровеобеспечивающих, метаболических, ростовых, морфогенетических и пр., а потому, моделируя их автоволнами, теоретик сталкивается со следующей проблемой взаимного уничтожения автоволн. Один автоволновой процесс, двигаясь по рассматриваемому участку организма за счет непрерывного выжигания на нем энергетических запасов, делает эту среду невозбудимой для других автоволн на некоторое время до тех пор, пока на данном участке не восстановятся запасы энергии для их существования. В живом веществе эта проблема особенно актуальна еще и потому, что виды энергохимических запасов в нем сильно унифицированы (в организмах имеется универсальная энергетическая валюта – АТФ). Поэтому трудно полагать, что факт одновременного существования многих процессов на одном участке в организме обеспечивается тем, что каждый автоволновой процесс в организме движется за счет выжигания своего специфического вида энергии, не выжигая энергии для других. Для солитонных моделей этой проблемы взаимного уничтожения сталкивающихся в одном месте биомеханических процессов не существует в принципе, поскольку солитоны в силу их способности к неразрушающим столкновениям спокойно проходят друг сквозь друга и на одном участке одновременно их число может быть как угодно велико. По нашим данным, для моделирования биосолитонных феноменов живого вещества особое значение имеют солитонное уравнение синус-Гордона и его обобщения.
Как известно, в полидоменных средах (магнетики, сегнетоэлектрики, сверхпроводники и пр.) солитоны выступают в качестве междоменных стенок. В живом веществе феномен полидоменности играет важную роль в морфогенетических процессах. Как и в других полидоменных средах, в полидоменных биологических средах он связан с классическим принципом Ландау-Лифшица минимизации энергии в среде. В этих случаях солитонные междоменные стенки оказываются местами повышенной концентрации энергии, в которых зачастую особенно активно протекают биохимические реакции.
Способность солитонов играть роль паровозиков, транспортирующих порции вещества в нужное место в пределах солитонной среды (организма) по законам нелинейной динамики, также заслуживает всяческого внимания в связи с биоэволюционными и физиологическими проблемами. Добавим, что биосолитонная физическая энергия способна гармонично сосуществовать в живом организме с известными химическими видами его энергии. Развитие концепции биосолитонов позволяет, в частности, открыть исследовательскую «охоту» в биологии за аналогами разных видов солитонов бризеров, вобблеров, пульсонов и пр., выведенных математиками «на кончике пера» при анализе солитонных уравнений и затем обнаруживаемых физиками в природе. Многие колебательные и волновые физиологические процессы могут в итоге получить для своего описания содержательные солитонные модели, связанные с нелинейным, солитонным характером биополимерного живого вещества.
Например, это относится к базовым физиологическим движениям живого биополимерного вещества типа сердечных биений и т.п. Напомним, что у человеческого эмбриона в возрасте трех недель, когда он имеет рост всего в четыре миллиметра, первым приходит в движении сердце. Начало сердечной деятельности обусловлено какими-то внутренними энергетическими механизмами, так как в это время у сердца еще нет никаких нервных связей для управления этими сокращениями и оно начинает сокращаться, когда еще нет крови, которую надо перекачивать. В этот момент сам эмбрион представляет собой по существу кусочек полимерной слизи, в которой внутренняя энергия самоорганизуется в энергоэкономичные пульсации. Аналогичное можно сказать о возникновении сердечных биений в яйцах и икринках животных, куда подвод энергии извне минимизирован существованием скорлупы и других изолирующих покровов. Подобные формы энергетической самоорганизации и самолокализации известны в полимерных средах, в том числе, небиологического типа и по современным представлениям имеют солитонную природу, поскольку солитоны являются наиболее энергоэкономичными (недиссипативными или малодиссипативными) самоорганизующимися структурами пульсирующего и иного характера. Солитоны реализуются во множестве природных сред, окружающих живые организмы: твердых и жидких кристаллах, классических жидкостях, магнетиках, решетчатых структурах, плазме и пр. Эволюция живого вещества с ее механизмами естественного отбора не прошло мимо уникальных свойств солитонов и их ансамблей.
Имеют ли данные материалы какое-либо отношение к синергетике? Да, безусловно. Как определено в монографии Хагена /6, с.4/, «в рамках синергетики изучается такое совместное действие отдельных частей какой-либо неупорядоченной системы, в результате которого происходит самоорганизация – возникают макроскопические пространственные, временные или пространственно-временные структуры, причем рассматриваются как детерминированные, так и стохастические процессы». Существует много типов нелинейных процессов и систем, которые изучаются в рамках синергетики. Курдюмов и Князева /7, с.15/, перечисляя ряд этих типов, специально отмечают, что среди них одним из важных и интенсивно изучаемых являются солитоны. В последние годы начал издаваться международный журнал «Хаос, солитоны и фракталы» («Chaos, Solitons & Fractals»). Солитоны, наблюдаемые в самых разных природных средах, представляют собой яркий пример нелинейного кооперативного поведения множества элементов системы, приводящего к формированию специфических пространственных, временных и пространственно-временных структур. Наиболее известный, хотя далеко не единственный вид таких солитонных структур – описанная выше самолокализующаяся устойчивая по форме одногорбая локальная деформация среды, бегущая с постоянной скоростью. Солитоны активно используются и изучаются в современной физике. С 1973 года, начиная с работ Давыдова /8/, солитоны применяются также в биологии для моделирования молекулярных биологических процессов. В настоящее время во всем мире имеется множество публикаций по применению таких «молекулярных солитонов» в молекулярной биологии, в частности, для осмысления процессов в белках и ДНК. Наши работы /3, 9/ явились первыми в мировой литературе публикациями на тему «надмолекулярных солитонов» в биологических явлениях надмолекулярного уровня. Подчеркнем, что из существования молекулярных биосолитонов (которое, по мнению многих авторов, еще предстоит доказать) никак не следует существование солитонов в кооперативных биологических надмолекулярных процессах, объединяющих мириады молекул.
ЛИТЕРАТУРА:
- Додд Р. и др. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М., 1988, 694 с.
- Каменский В.Г. ЖЭТФ, 1984, т.87, вып. 4(10), с. 1262-1277.
- Петухов С.В. Биосолитоны. Основы солитонной биологии. – М., 1999, 288 с.
- Gray J. Animal locomotion. London, 1968.
- Петухов С.В. Бипериодическая таблица генетического кода и число протонов. – М., 2001, 258 с.
- Хаген Г. Синергетика. – М., Мир, 1980, 404 с.
- Князева Е.Н., Курдюмов С.П. Законы эволюции и самоорганизации сложных систем. М., Наука, 1994, 220 с.
- Давыдов А.С. Солитоны в биологии. – Киев, Наукова Думка, 1979.
- Петухов С.В. Солитоны в биомеханике. Депонировано в ВИНИТИ РАН 12 февраля 1999 г, №471-В99. (Указатель ВИНИТИ «Депонированные научные работы», № 4 за 1999 г.)
Summary
. The report discusses the opportunities opened up by a solitonic approach to supramolecular biology, first of all, for modeling a wide class of natural wave movements in living organisms. The results of author’s research demonstrate the existence of soliton-like supramolecular processes in locomotor, metabolic and other manifestations of dynamic biomorphology on a wide variety of branches and levels of biological evolution.
Solitons, named sometimes « wave atoms », have unusual properties from the classical (linear) viewpoint. They have ability for self-organizing: auto-localizations; catching of energy; formation of ensembles with dynamics of pulsing and other character. Solitons were known in plasma, liquid and firm crystals, classical liquids, nonlinear lattices, magnetic and others poly-domain matters, etc. The reveal of biosolitons points out that biological mechano-chemistry makes living matter as solitonic environment with opportunities of various physiological use of solitonic mechanisms. The report is based on the books: S.V. Petoukhov «Biosolitons. Bases of solitonic biology », Moscow, 1999 (in Russian).
Петухов С.В., Солитоны в кооперативных биологических процессах надмолекулярного уровня // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13240, 21.04.2006
Помимо традиционно изучаемых типов волн можно привести примеры и других видов волн, которые занимают особое место при анализе процессов распространения колебаний в различных средах.
1. Ударная волна. Ударная волна (скачок уплотнения) - это распространяющаяся со сверхзвуковой скоростью тонкая переходная область, в которой происходит резкое увеличение плотности, давления и скорости вещества. Она возникает при взрывах, детонации, при сверхзвуковых движениях тел, при мощных электрических разрядах и т.д. Например, при взрыве образуются продукты взрыва, обладающие большой плотностью и находящиеся под большим давлением. Расширяющиеся продукты взрыва сжимают окружающий воздух, причем в каждый момент времени сжатым оказывается лишь воздух, находящийся в определенном объеме, вне этого объема воздух остается в невозмущенном состоянии. С течением времени объем сжатого воздуха возрастает. Поверхность, которая отделяет сжатый воздух от невозмущенного воздуха, и представляет собой ударную волну (или как говорят, фронт ударной волны). На рис. 6.27,а в качестве примера приведен график распределения плотности в ударной волне, распространяющейся в реальном газе ( – плотность газа перед фронтом волны).
При ускоренном движении тела ударная волна возникает не сразу. Сначала возникает волна сжатия с непрерывными распределениями плотности и давления. С течением времени крутизна передней части волны возрастает и в некоторый момент времени происходит резкий скачок всех гидродинамических величин, возникает ударная волна.
В
случае движения тела со сверхзвуковой
скоростью (
)
звуковые волны охватывают лишь часть
объема газа, лежащую позади движущегося
тела и ограниченную некоторой поверхностью,
называемой характеристической
поверхностью, поверхностью слабого
разрыва или фронтом ударной волны.
При
сверхзвуковом движении тела малых
размеров со скоростью 
характеристическая поверхность (фронт
волны) имеет вид круговой конической
поверхности, вершина которой совпадает
с движущемся телом О
,
а угол 
между образующими и траекторией тела
удовлетворяет условию: 
.
Этот угол называют углом слабых возмущений
или углом Маха (рис. 6.27,б).
В случае электромагнитных волн аналогом ударной звуковой волны, возникающей при движении тел со скоростями, превышающими фазовые скорости упругих волн в данной среде, является излучение Вавилова – Черенкова (см. §7.4.4).
2. Уединенная волна представляет собой волновое движение, которое в каждый момент времени локализовано в конечной области пространства и относительно медленно изменяет свою структуру при распространении.
Типичная, уединенная волна имеет вид одиночного импульса или перепада, но она может иметь и более сложную структуру. К уединенным волнам относят такие типы нелинейных волн, как уединенные волны в диссипативных средах, стационарные импульсные волны возбуждения в активных средах (нервные импульсы) и солитон в среде без потерь.
Солитон (от лат. solus – один) – структурно устойчивая уединенная волна в нелинейной диспергирующей среде. Структура солитона поддерживается стационарной за счет баланса между действием нелинейности среды и дисперсии.
Солитон впервые наблюдался на водяном канале в 1834 г., когда при резкой остановке баржи около ее носа образовался водяной выступ (водяной холм) и затем он стал самостоятельно распространяться по каналу, сохраняя на протяжении длительного времени свою структуру и скорость.
Рассмотрим
возможность образования солитона на
поверхности воды. Для волн, у которых
длина 
волны значительно превышает глубину
водоема (
,
мелкая вода) явление дисперсии отсутствует,
они распространяются с фазовой скоростью
,
где
– ускорение свободного падения, а
-
смещение поверхности жидкости в
вертикальном направлении в данной точке
профиля волны (см. рис. 6.27,в). Из записанной
формулы для фазовой скорости следует,
что вершина водяного холма движется
быстрее, чем точки вблизи его подножия.
Это нелинейность
среды
приводит
к тому, что крутизна фронта волны
возрастает с течением времени, т.е.
происходит пространственное сужение
водяного холма (см. рис. 6.28,б).
Если
же длина 
волны будет
значительно меньше глубины
водоема (
),
то в этом случае для волн малой амплитуды
наблюдается
сильная дисперсия
,
т.е. их фазовая скорость зависит от длины
волны
.
Это приводит к расплыванию водяного
холма. Оказывается, что существуют волны
с таким соотношением между 
и максимальным возвышением 
,
при котором наблюдается компенсация
процессов расплывания холма из-за
явления дисперсии и процессов его
пространственного сужения. Такая
компенсация и соответствует существованию
солитона.
Солитоны ведут себя подобно частицам: при взаимодействии между собой или с некоторыми другими возмущениями, солитоны не разрушаются, а расходятся, вновь сохраняя свою структуру неизменной.
Солитоны играют важную роль в теории конденсированного состояния вещества, в частности в квантовой статистике, теории фазовых переходов. Структуры в форме солитонов обнаружены во многих динамических системах – в плазме, радиосхемах, лазерах, нервных волокнах.
Учебное издание
Марс Гильманович Валишев
Александр Александрович Повзнер