Изучение зависимостей - это сложнейшая задача, поскольку социально-экономические явления сами по себе сложны и многообразны. Кроме того, полученные выводы носят вероятностный характер, так как они делаются на основе данных, представляющих собой выборку во времени или пространстве.
Статистические методы изучения зависимости построены с учетом особенностей изучаемых закономерностей. Статистика изучает преимущественно стохастические связи, когда одному значению признака-фактора соответствует группа значений результативного признака. Если с изменением значений признака-фактора изменяются среднегрупповые значения результативного признака, то такие связи называют корреляционными. Не всякая стохастическая зависимость является корреляционной. Если каждому значению факторного признака соответствует строго определенное значение результативного признака, то такая зависимость функциональная. Ее называют еще полной корреляцией. Неоднозначные корреляционные зависимости называют неполной корреляцией.
По механизму взаимодействия различают:
· Непосредственные связи - когда причина прямо влияет на следствие;
· Косвенные связи - когда между причиной и следствием существуют ряд промежуточных признаков (например, влияние возраста на заработок).
По направлениям различают:
· Прямые связи - когда значение факторного и результативного признаков изменяются в одном направлении;
· Обратные связи - когда значения факторного и результативного признаков изменяются в разных направлениях.
· Прямолинейные (линейные) связи - выражены прямой линией;
· Криволинейные связи - выражены параболой, гиперболой.
По числу взаимосвязанных признаков различают:
· Парные связи - когда анализируется взаимосвязь двух признаков (факторного и результативного);
· Множественные связи - характеризуют влияние нескольких признаков на один результативный.
По силе взаимодействия различают:
· Слабые (заметные) связи;
· Сильные (тесные) связи.
Задача статистики определить наличие, направление, форму и тесноту взаимосвязи.
Для изучения зависимости применяются различные статистические методы. Поскольку зависимости в статистике проявляются через вариацию признаков, то и методы в основном измеряют и сопоставляют вариацию факторного и результативного признаков.
Если изобразить результаты группировки на графике, получим эмпирическую линию регрессии. Интервалы значений факторного признака заменяются средними групповыми показателями.
Помимо эмпирической линии регрессии, непосредственно определяющей форму и направление взаимосвязей, существует корреляционное поле, на котором отражаются параметрические данные.
По корреляционному полю так же можно судить о характере взаимосвязи. Если точки сконцентрированы около диагонали идущей слева направо, снизу вверх - то связь прямая. Если около другой диагонали - обратная. Если точки рассеяны по всему полю графика - связь отсутствует.
При построении аналитической группировки важно правильно определить величину интервала. Если в результате первичной группировки связь не проявляется отчетливо, можно укрупнить интервал. Однако, укрупняя интервалы, можно иногда обнаружить связь даже там, где ее нет. Поэтому при построении аналитической группировки руководствуются правилом: чем больше групп мы можем выделить, не натолкнувшись ни на одно исключение, тем надежнее наша гипотеза о наличии и форме связи.
Нематематические методы дают приближенную оценку о наличии, формы и направлении связи. Более глубокий анализ осуществляется с помощью математических методов, которые развились на базе методов, применяемых статистиками - нематематиками:
· Регрессионный анализ, позволяющий выразить с помощью уравнения форму взаимосвязи.
· Корреляционный анализ используется для определения тесноты или силы взаимосвязи признаков. Корреляционные методы делят:
- Параметрические методы, которые дают оценку тесноты связи непосредственно на базе значений факторного и результативного признаков;
- Непараметрические методы - дают оценку на основе условных оценок признаков.
Оценка тесноты криволинейных зависимостей дается после расчета параметра уравнения регрессии. Поэтому такой метод называется корреляционно-регрессивным.
Если анализируется зависимость одного факторного и результативного признаков, то в этом случае имеем дело с парной корреляцией и регрессией. Если анализируются несколько факторных и результативных признаков - это множественная корреляция и регрессия.
Регрессия - это линия, характеризующая наиболее общую тенденцию во взаимосвязи факторного и результативного признаков.
Предполагается, что аналитическое уравнение выражает подлинную форму зависимости, а все отклонения от этой функции обусловлены действием различных случайных причин. Так как изучаются корреляционные связи, изменению факторного признака соответствует изменение среднего уровня результативного признака. При построении аналитических группировок мы рассматривали эмпирическую линию регрессии. Однако, эта линия не пригодна для экономического моделирования и ее форма зависит от произвола исследователя. Теоретически линия регрессии в меньшей степени зависит от субъективизма исследователя, однако, здесь так же может быть произвол при выборе формы или функции взаимосвязи. Считается, что выбор функции должен опираться на глубокое знание специфики предмета исследования.
На практике чаще всего применяются следующие формы регрессионных моделей:
· Линейная;
· Полулогарифметическая кривая;
· Гипербола;
· Парабола второго порядка;
· Показательная функция;
· Степенная функция.
Данное свойство средней, гласящее, что сумма квадратов отклонений всех вариантов ряда от средней арифметической меньше суммы квадратов их отклонений от любого другого числа, положено в основу метода наименьших квадратов, позволяющего рассчитать параметры избранного уравнения регрессии таким образом, чтобы линия регрессии была в среднем наименее удалена от эмпирических данных.
Непараметрические методы измерения тесноты взаимосвязи количественных признаков были первыми из методов измерения тесноты взаимосвязи. Впервые попытался измерить тесноту связи в 30-ч годах 19 века французский ученый Гиррий. Он сопоставлял между собой среднегрупповые значения факторного и результативного признаков. При этом абсолютные значения заменялись их отношениями к некоторым константам. Полученные результаты ранжировались в порядке возрастания. О наличии или отсутствии связи Гиррий судил сопоставляя ранее по группам и подсчитывая количество совпадений и несовпадений рангов. Если преобладало число совпадений - связь считалась прямой. Несовпадение - обратной. При равенстве совпадений и несовпадений - связь отсутствовала.
Методика Гиррий была использована Фехнером при разработке своего коэффициента, а так же Спирменом при разработке коэффициента корреляции рангов.
Коэффициент указывает на наличие весьма тесной обратной связи.
На ряду с коэффициентом Фехнера для измерения взаимосвязи количественных признаков применяются коэффициенты корреляции рангов. Наиболее распространенным среди них является коэффициент корреляции рангов Спирмена.
Непараметрические методы применяются для измерения тесноты связи качественных и альтернативных признаков, а так же количественных признаков, распределение которых отличается от нормального распределения.
Для измерения связи альтернативных признаков применяются коэффициент ассоциации Дэвида Юла и коэффициент контингенции Карла Пирсона. Для расчета этих показателей применяется следующая матрица взаимного распределения частот:
a, b, c, d - частоты взаимного распределения признаков.
При прямой связи частоты сконцентрированы по диагонали a-d, при обратной связи по диагонали b-c, при отсутствии связи частоты практически равномерно распределены по всему полю таблицы.
Коэффициент ассоциации
Коэффициент ассоциации непригоден для расчета в том случае, если одна из частот по диагонали равна 0. В этом случае применяется коэффициент контингенции, который рассчитывается по формуле:
Коэффициент контингенции также указывает на практическое отсутствие связи между признаками (его величина всегда меньше К ас).
Для измерения тесноты линейной взаимосвязи применяется коэффициент корреляции. Базовая форма коэффициента корреляции следующая:
Фактически, коэффициент корреляции - это среднее произведения нормативных отклонений:
Если связь между признаками отсутствует, то результативный признак не варьирует при изменении факторного признака, следовательно. Такой же результат получается при сбалансированности сумм отрицательных и положительных произведений.
Обычно для расчета коэффициента корреляции применяются формулы, использующие те показатели, которые уже рассчитывались при определении параметров уравнения регрессии.
Множественная корреляция и регрессия применяется для изучения влияния двух и более факторов на результативный признак. Процесс исследования включает несколько этапов.
Сначала проводится выбор формы уравнения взаимосвязи, чаще всего выбирается n-мерная линейная формула:
Поскольку расчеты важны и трудоемки, важнейшее значение имеет отбор факторов для включения в регрессионную модель. На основе качественного анализа необходимо отбирать наиболее существенные факторы. На этапе отбора факторов, рассчитывается так же единичная матрица парных коэффициентов корреляции между признаками факторов, отобранных для включения в уравнение регрессии.
Основные понятия корреляционного и регрессионного анализа
Исследуя природу, общество, экономику, необходимо считаться со взаимосвязью наблюдаемых процессов и явлений. При этом полнота описания так или иначе определяется количественными характеристиками причинно-следственных связей между ними. Оценка наиболее существенных из них, а также воздействия одних факторов на другие является одной из основных задач статистики.
Формы проявления взаимосвязей весьма разнообразны. В качестве двух самых общих их видов выделяют функциональную (полную) и корреляционную (неполную) связи. В первом случае величине факторного признака строго соответствует одно или несколько значений функции. Достаточно часто функциональная связь проявляется в физике, химии. В экономике примером может служить прямо пропорциональная зависимость между производительностью труда и увеличением производства продукции.
Корреляционная связь (которую также называют неполной, или статистической) проявляется в среднем, для массовых наблюдений, когда заданным значениям зависимой переменной соответствует некоторый ряд вероятных значений независимой переменной. Объяснение тому – сложность взаимосвязей между анализируемыми факторами, на взаимодействие которых влияют неучтенные случайные величины. Поэтому связь между признаками проявляется лишь в среднем, в массе случаев. При корреляционной связи каждому значению аргумента соответствуют случайно распределенные в некотором интервале значения функции.
Например, некоторое увеличение аргумента повлечет за собой лишь среднее увеличение или уменьшение (в зависимости от направленности) функции, тогда как конкретные значения у отдельных единиц наблюдения будут отличаться от среднего. Такие зависимости встречаются повсеместно. Например, в сельском хозяйстве это может быть связь между урожайностью и количеством внесенных удобрений. Очевидно, что последние участвуют в формировании урожая. Но для каждого конкретного поля, участка одно и то же количество внесенных удобрений вызовет разный прирост урожайности, так как во взаимодействии находится еще целый ряд факторов (погода, состояние почвы и др.), которые и формируют конечный результат. Однако в среднем такая связь наблюдается – увеличение массы внесенных удобрений ведет к росту урожайности.
По направлению связи бывают прямыми, когда зависимая переменная растет с увеличением факторного признака, и обратными, при которых рост последнего сопровождается уменьшением функции. Такие связи также можно назвать соответственно положительными и отрицательными.
Относительно своей аналитической формы связи бывают линейными и нелинейными. В первом случае между признаками в среднем проявляются линейные соотношения. Нелинейная взаимосвязь выражается нелинейной функцией, а переменные связаны между собой в среднем нелинейно.
Существует еще одна достаточно важная характеристика связей с точки зрения взаимодействующих факторов. Если характеризуется связь двух признаков, то ее принято называть парной . Если изучаются более чем две переменные – множественной .
Указанные выше классификационные признаки наиболее часто встречаются в статистическом анализе. Но кроме перечисленных различают также непосредственные, косвенные и ложные связи. Собственно, суть каждой из них очевидна из названия. В первом случае факторы взаимодействуют между собой непосредственно. Для косвенной связи характерно участие какой-то третьей переменной, которая опосредует связь между изучаемыми признаками. Ложная связь – это связь, установленная формально и, как правило, подтвержденная только количественными оценками. Она не имеет под собой качественной основы или же бессмысленна.
По силе различаются слабые и сильные связи. Эта формальная характеристика выражается конкретными величинами и интерпретируется в соответствии с общепринятыми критериями силы связи для конкретных показателей.
В наиболее общем виде задача статистики в области изучения взаимосвязей состоит в количественной оценке их наличия и направления, а также характеристике силы и формы влияния одних факторов на другие. Для ее решения применяются две группы методов, одна из которых включает в себя методы корреляционного анализа, а другая – регрессионный анализ. В то же время ряд исследователей объединяет эти методы в корреляционно-регрессионный анализ, что имеет под собой некоторые основания: наличие целого ряда общих вычислительных процедур, взаимодополнения при интерпретации результатов и др.
Поэтому в данном контексте можно говорить о корреляционном анализе в широком смысле – когда всесторонне характеризуется взаимосвязь. В то же время выделяют корреляционный анализ в узком смысле – когда исследуется сила связи – и регрессионный анализ, в ходе которого оцениваются ее форма и воздействие одних факторов на другие.
Задачи собственнокорреляционного анализа сводятся к измерению тесноты связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей и оценке факторов оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.
Задачирегрессионного анализа лежат в сфере установления формы зависимости, определения функции регрессии, использования уравнения для оценки неизвестных значении зависимой переменной.
Решение названных задач опирается на соответствующие приемы, алгоритмы, показатели, применение которых дает основание говорить о статистическом изучении взаимосвязей.
Следует заметить, что традиционные методы корреляции и регрессии широко представлены в разного рода статистических пакетах программ для ЭВМ. Исследователю остается только правильно подготовить информацию, выбрать удовлетворяющий требованиям анализа пакет программ и быть готовым к интерпретации полученных результатов. Алгоритмов вычисления параметров связи существует множество, и в настоящее время вряд ли целесообразно проводить такой сложный вид анализа вручную. Вычислительные процедуры представляют самостоятельный интерес, но знание принципов изучения взаимосвязей, возможностей и ограничений тех или иных методов интерпретации результатов является обязательным условием исследования.
Методы оценки тесноты связи подразделяются на корреляционные (параметрические) и непараметрические. Параметрические методы основаны на использовании, как правило, оценок нормального распределения и применяются в случаях, когда изучаемая совокупность состоит из величин, которые подчиняются закону нормального распределения. На практике это положение чаще всего принимается априори. Собственно, эти методы – параметрические – и принято называть корреляционными.
Непараметрические методы не накладывают ограничений на закон распределения изучаемых величин. Их преимуществом является и простота вычислений.
9.1. Причинность, регрессия, корреляция
В процессе статистического исследования зависимостей вскрываются причинно-следственные отношения между явлениями, что позволяет выявлять факторы (признаки), оказывающие основное влияние на вариацию изучаемых явлений и процессов. Причинно-следственные отношения – это связь явлений и процессов, когда изменение одного из них – причины, ведет к изменению другого – следствия.
Признаки по их значению для изучения взаимосвязи делятся на два вида: факторные и результативные.
Социально-экономические явления представляют собой результат одновременного воздействия большого числа причин. Следовательно, при изучении этих явлений необходимо выявлять главные, основные причины, абстрагируясь от второстепенных.
В основе первого этапа статистического изучения связи лежит качественный анализ изучаемого явления, т.е. исследование его природы методами экономической теории, социологии, конкретной экономики. Второй этап – построение модели связи. Третий, последний этап – интерпретация результатов, вновь связан с качественными особенностями изучаемого явления.
В статистике различают функциональную связь и стохастическую. Функциональной называют такую связь, при которой определенному значению факторного признака соответствует одно и только одно значение результативного признака. Такая связь проявляется во всех случаях наблюдения и для каждой конкретной единицы исследуемой совокупности. Если причинная зависимость проявляется не в каждом отдельном случае, а в общем, среднем при большом числе наблюдений, то такая зависимость называется стохастической. Частным случаем стохастической связи является корреляционная связь, при которой изменение среднего значения результативного признака обусловлено изменением факторных признаков.
Связи между признаками и явлениями ввиду их большого разнообразия классифицируются по ряду оснований: по степени тесноты связи, направлению и аналитическому выражению.
Степень тесноты корреляционной связи количественно может быть оценена с помощью коэффициента корреляции, величина которого определяет характер связи (табл. 1).
Таблица 1 - Количественные критерии тесноты связи
По направлению выделяют связь прямую и обратную .
При прямой связи с увеличением или уменьшением значений факторного признака происходит увеличение или уменьшение значений результативного. В случае обратной связи с увеличением значений факторного признака значения результативного убывают, и наоборот.
По аналитическому выражению выделяют связи: прямолинейные (или просто линейные) и нелинейные . Если статистическая связь между явлениями может быть приближенно выражена уравнением прямой линии, то ее называют линейной; если же она выражается уравнением какой-либо кривой линии (параболы, гиперболы, показательной, экспоненциальной и т.п.), то такую связь называют нелинейной или криволинейной.
Для выявления наличия связи, ее характера и направления в статистике используются методы: приведения параллельных данных; аналитических группировок; статистических графиков; корреляции.
Метод приведения параллельных данных основан на сопоставлении двух или нескольких рядов статистических величин. Такое сопоставление позволяет установить наличие связи и получить представление о ее характере. Например, изменение двух величин представлено следующими данными.
Графически взаимосвязь двух признаков изображается с помощью поля корреляции . В системе координат на оси абсцисс откладываются значения факторного признака, а на оси ординат – результативного. Чем сильнее связь между признаками, тем теснее будут группироваться точки вокруг определенной линии, выражающей форму связи (рис.).
При отсутствии тесных связей имеет место беспорядочное расположение точек на графике.
Для социально-экономических явлений характерно, что наряду с существенными факторами, формирующими уровень результативного признака на него оказывают влияние многие другие неучтенные и случайные факторы. Это свидетельствует о том, что взаимосвязи явлений, которые изучает статистика, носят корреляционный характер.
Корреляция – это статистическая взаимосвязь между случайными величинами, не имеющими строго функционального характера, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания (средней величины) другой.
В статистике принято различать следующие виды зависимостей .
1. Парная корреляция – связь между двумя признаками (результативным и факторным или двумя факторными).
2. Частная корреляция – зависимость между результативным и одним факторным признаками при фиксированном значении других факторных признаков.
3. Множественная корреляция – зависимость результативного и двух или более факторных признаков, включенных в исследование.
Задачей корреляционного анализа является количественное определение тесноты связи между двумя признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаком (при многофакторной связи).
Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляции, которые дают возможность определить «полезность» факторных признаков при построении уравнений множественной регрессии. Кроме того, величина коэффициента корреляции служит оценкой соответствия уравнения регрессии выявленным причинно-следственным связям.
9.2. Оценка тесноты связи
Теснота корреляционной связи между факторным и результативным признаками может исчисляться с помощью таких коэффициентов : эмпирический коэффициент корреляционной связи (коэффициент Фехнера); коэффициент ассоциации; коэффициент взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова; коэффициент контингенции; ранговые коэффициенты корреляции Спирмэна и Кендэла; линейный коэффициент корреляции; корреляционное отношение и др.
Наиболее совершенно тесноту связи характеризует линейный коэффициент корреляции: 
, где – средняя из произведений значений признаков ху
; – средние значения признаков х
и у
; - средние квадратические отклонения признаков х
и у.
Он используется в том случае, если связь между признаками линейная
Линейный коэффициент корреляции может быть положительным или отрицательным.
Положительная его величина свидетельствует о прямой связи, отрицательная – об обратной. Чем ближе к ±1, тем связь теснее. При функциональной связи между признаками = ±1. Близость к 0 означает, что связь между признаками слабая.
9.3. Методы регрессионного анализа
С понятием корреляции тесно связано понятие регрессии . Первая служит для оценки тесноты связи, вторая - исследует ее форму. Корреляционно-регрессионный анализ , как общее понятие, включает в себя измерение тесноты и направления связи (корреляционный анализ) и установление аналитического выражения (формы) связи (регрессионный анализ).
После того, как с помощью корреляционного анализа выявлено наличие статистических связей между переменными и оценена степень их тесноты, переходят к математическому описанию конкретного вида зависимостей с использованием регрессионного анализа. Для этого подбирают класс функций, связывающий результативный показатель у и аргументы х 1 , х 2 ,… х k , отбирают наиболее информативные аргументы, вычисляют оценки неизвестных значений параметров связи и анализируют свойства полученного уравнения.
Функция, описывающая зависимость среднего значения результативного признака у от заданных значений аргументов, называется функцией (уравнением) регрессии . Регрессия – линия, вид зависимости средней результативного признака от факторного.
Наиболее разработанной в теории статистики является методология парной корреляции, рассматривающая влияние вариации факторного признака х на результативный у
Уравнение прямолинейной корреляционной связи имеет вид: 
.
Параметры а 0 и а 1 называют параметрами уравнения регрессии.
Для определения параметров уравнения регрессии используется способ наименьших квадратов, который даёт систему двух нормальных уравнений:
.
Решая эту систему в общем виде, можно получить формулы для определения параметров уравнения регрессии: 
, 
УПРАЖНЕНИЯ
Задача 9.1. 15 заводов проранжированы в порядке возрастания рентабельности производства.
|
№ предприятия |
Рентабельность производства, % |
Выработка одного работающего, т / чел |
Себестоимость единицы продукции, руб. |
Установите наличие и форму корреляционной связи между рентабельностью производства и выработкой, рентабельностью производства и себестоимостью единицы продукции с помощью методов статистических графиков и регрессионного анализа.
1. Курс теории статистики для подготовки специалистов финансово-экономического профиля: учебник/ Салин В. Н. - М. : Финансы и статистика, 2006. - 480 с.
2. Общая теория статистики: учебник для студентов вузов / М. Р. Ефимова, Е. В. Петрова, В. Н. Румянцев. - 2-е изд., испр. и доп. - М. : ИНФРА-М, 2006. - 414 с.
3. Практикум по общей теории статистики: учебное пособие / М.Р. Ефимова, О.И. Ганченко, Е.В. Петрова. - Изд. 3-е, перераб. и доп. - М. Финансы и статистика, 2007. - 368 с.
4. Практикум по статистике / А.П. Зинченко, А.Е, Шибалкин, О.Б. Тарасова, Е.В. Шайкина; Под ред. А.П. Зинченк. – М.: КолосС, 2003. – 392 с.
5. Статистика: Учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / В.С. Мхитарян, Т.А. Дуброва, В.Г. Минашкин и др.; Под ред. В.С. Мхитаряна. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. -272 с.
6. Статистика: учебник для студентов вузов / Санкт-Петербург. гос. ун-т экономики и финансов; под ред. И. И. Елисеевой. - М. : Высшее образование, 2008. - 566 с.
7. Теория статистики: учебник для студентов экономических специальностей вузов / Р. А. Шмойлова [и др.] ; ред. Р. А. Шмойлова. - 5-е изд. - М. : Финансы и статистика, 2008. - 656 с.
1. Виды и формы связей между явлениями.
2. Методы изучения взаимосвязей.
3. Корреляционно-регрессионное моделирование.
4. Оценка КРМ на адекватность.
1. Все явления объективного мира, в том числе и общественные, находятся в постоянной взаимосвязи и взаимодействии между собой, в непрерывном изменении и развитии. Важнейшей задачей статистики, наряду с оценкой состояния массовых явлений и выявлением закономерностей их развития, является изучение связей между ними.
Связи массовых общественных явлений устанавливают на основе теоретического анализа их сущности, изучения закономерностей и движущих сил развития, оценки условий их функционирования. При этом используются категории, понятия и накопленные ранее знания других наук. Задача статистики состоит в том, чтобы выявить само наличие связи в конкретных условиях, а также получить показатели, характеризующие ее силу, степень и характер.
Теоретический и практический интерес представляют в первую очередь причинно-следственные связи, когда одни явления (факторы) выступают причиной изменения других (результаты). Их анализ позволяет, во-первых, объяснить фактическое положение дел, а во-вторых, воздействуя на факторы, добиться изменения результатов в желаемом направлении.
Виды связей:
I. По характеру:
1) функциональные. Связь между явлениями называется функциональной , если изменению факторного показателя x на единицу соответствует строго определенное изменение результативного признака y. Такие связи выражают формулами, действительными во всех случаях. Примером может служить изменение заработной платы (при той же самой часовой ставке) в зависимости от числа отработанных часов, изменение затрат на топливо в зависимости от его расхода в натуральном выражении (при неизменных ценах) и т.д.
2) статистические (корреляционные). Статистическими (корреляционными) называют связи, при которых строго определенному изменению факторного признака x соответствует целый ряд (статистическое распределение) изменений результата y, не вполне определенных, подверженных случайным колебаниям. Эти связи проявляются лишь в среднем, в массовых явлениях; кроме изучаемого фактора на результат воздействуют и другие причины, в том числе носящие случайный характер. Например, при увеличении доз вносимых удобрений урожайность культур в среднем повышается, но не всегда и не на одну и ту же величину.
II. По форме выражения:
1) прямые - с возрастанием факторного признака увеличивается результативный (например, при увеличении стажа работника, как правило, производительность его труда повышается);
2) обратные - изменения идут в противоположном направлении (так, при повышении продуктивности животных и урожайности культур затраты на единицу продукции в среднем сокращаются).
III. По аналитическому выражению:
1) прямолинейные - с возрастанием одного признака при любом его исходном значении другой изменяется в среднем на одну и ту же величину;
2) криволинейные - эти изменения сами изменяются (увеличиваются, уменьшаются или даже меняют свой знак).
IV. В зависимости от количества факторных признаков, включенных в модель:
1) парные (однофакторные);
2) множественные (многофакторные).
2. Для изучения функциональных связей используют методы:
Балансовые связи. Он основан на простой функциональной зависимости между наличием какого-то ресурса на начало и конец периода, его поступлением и расходованием в течение этого периода. Если известны любые три из указанных показателей, четвертый определяется автоматически. Наличие на конец года = Наличие на начало года + Поступило – Выбыло.
Например, годовое потребление в хозяйстве продукции собственного производства можно рассчитать так:
Потребление = Наличие на начало года + Производство – Наличие на конец года.
Индексного анализа.
Для изучения корреляционных связей используют методы:
Сопоставление параллельных рядов;
Самый простой и наиболее распространенный прием – сопоставление параллельных рядов. Его сущность состоит в одновременном рассмотрении изучаемых признаков по единицам совокупности или по периодам (моментам) динамического ряда. Сопоставление производится чисто визуально, без специальных расчетов (табл 9.3).
В данном случае хорошо видно, что в динамике дозы внесения органических и минеральных удобрений вплоть до 1990 г. увеличиваются, а затем снижаются. Сходная тенденция наблюдается и по урожайности зерновых: рост до 1990 г. с последующим снижением. Напротив, по урожайности картофеля никакого параллелизма с показателями внесения удобрений не прослеживается.
Сопоставление параллельных рядов (его особенно удобно вести с помощью линейных графиков) позволяет установить наличие связи, ее направление и очень приблизительно – ее силу. Так, изменения доз органических и минеральных удобрений связаны очень тесно, их связь с урожайностью зерновых культур, хотя и слабая, также имеется, она носит прямой и линейный характер, а вот связь с урожайностью картофеля практически не прослеживается.
Главный недостаток данного приема – отсутствие каких-либо показателей связи. Сопоставление не решает также вопрос о причинно-следственных связях изучаемых явлений. Из теории, например, известно, что внесение удобрений приводит к росту урожайности. Но картофель возделывается в основном в хозяйствах населения, и его доля в структуре посевов невелика. Поэтому показатель внесения удобрений в среднем на 1 га всей посевной площади, и к тому же во всех категориях хозяйств, является слишком общим, чтобы могла обнаружиться какая-то связь с урожайностью картофеля.
Графический метод (метод корреляционного поля);
Состоит в нанесении точек графика на координатную плоскость, а также определении поля корреляции и направления связи между признаками.
Пример: Имеются данные:
Обратная зависимость.
Метод построения групповых корреляционных таблиц;
Имеются данные:
Границы групп для х:
Границы групп для у:
1 гр.: 18-21,2;
2 гр.: 21,2-24,4;
3 гр.: 24,4-27,6;
4 гр.: 27,6-30,8;
5 гр.: 30,8-34.
Таблица – Групповая корреляционная таблица
| х | 18-21,2 | 21,2-24,4 | 24,4-27,6 | 27,6-30,8 | 30,8-34 | |
| 1-4 | - | - | - | - | ||
| 4-7 | - | - | - | |||
| 7-10 | - | - | - | |||
| 10-13 | - | - | - | - | ||
| 13-16 | - | - | - | |||
| - |
Вывод: связь прямая однонаправленная (т.к. частоты расположены по диагонали).
Метод аналитических группировок;
Метод дисперсионного анализа;
Метод КРА;
Метод непараметрической оценки связей.
3. Метод корреляционно-регрессионного моделирования состоит из двух этапов:
I. Регрессия – поиск уравнения связи, которое наиболее полно характеризует зависимость между признаками, и определение параметров этого уравнения.
Условное начало, содержательной интерпретации не подлежит;
Коэффициенты регрессии, показывающие, на сколько единиц изменится результативный признак при изменении факторного признака на единицу при улови, что все прочие факторные признаки останутся неизменными.
II. Корреляция – определение показателей тесноты связи.
Чаще всего корреляцию характеризуют двумя показателями:
Коэффициент корреляции (характеризует степень тесноты связи между результативным и всеми факторными признаками; измеряется в интервале от 0 до 1 по модулю; чем ближе к 1, тем более тесная связь между признаками);
Коэффициент детерминации (показывает, на сколько процентов включенные в модель факторы объясняют вариацию результативного признака: измеряется в интервале от 0 до 100%).
корреляции
2. Коэф. парной детерминации
2. Эмперический коэф. детерми-
2. Коэф. множ. детерминации
коэффициент чистой регресс при i- том факторном признаке;
Ср. кВ. отклонения по i-тому факторному признаку.
Чтобы сделать коэффициенты регрессии сопоставимыми и определить влияние каждого в отдельности фактора на результативный признак, рассчитывают стандартизированные коэффициенты:
1) Коэффициенты эластичности:
Коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов изменится результативный признак, при увеличении факторного признака на 1%.
показывают, на сколько средний квадратических отклонений изменится результативный признак при увеличении факторного на свое среднее квадратическое отклонение.
3) Коэффициенты отдельного определения:
Коэффициенты отдельного определения определения показывают вклад каждого фактора в вариацию результативного признака.
4. Адекватность КРМ – это оценка построенной модели в действительности.
Оценка построенной модели на адекватность проводится с использованием F критерия Фишера:
n – объем совокупности;
k – число факторных признаков в уравнении;
Дисперсия выровненных значений результативного признака по уравнению регрессии.
Дисперсия отклонений фактических значений результативного признака от выровненных по уравнению регрессии.
По таблице значений F- критерия Фишера определяется табличное его значение при уровне значимости 0,01; 0,05; или 0,1 и числе степеней свободы n-k-1. Если - модель адекватна.
Значимость коэффициентов регрессии определяется с помощью критерия Стьюдента.
1.8.1. Статистическое изучение взаимосвязей, их классификация.
1.8.2. Задачи изучения взаимосвязей.
1.8.3. Понятие корреляционно-регрессионного анализа, условия его применения.
1.8.4. Показатели тесноты связи, линейный коэффициент корреляции.
1.8.5. Меры оценки тесноты связи для атрибутивных признаков.
1.8.1. Статистическое изучение взаимосвязей, их классификация
Статистическое изучение взаимосвязей является одним из важнейших разделов статистики. Изучение взаимосвязей между различными явлениями общественной жизни позволяет предсказывать развитие процессов, зависимых от других, и, в конечном счете, оказывать на них влияние. Таким образом, изучение связей позволяет от объяснения фактов перейти к изменению фактов.
Взаимосвязь - это совместное согласованное изменение двух или нескольких признаков.
Присутствие взаимосвязи между различными явлениями, процессами выражается во взаимосогласованном изменении статистических данных, описывающих эти процессы.
Например, стаж работы является одним из факторов роста производительности труда. Поэтому увеличение стажа, как правило, приводит к росту выработки. Статистические данные отражают согласованность в изменении обоих показателей.
Все многообразие взаимосвязей принято классифицировать по различным признакам: Форма проявления:
причинно-следственные связи - в том случае, когда из двух взаимодействующих признаков можно выделить причину и следствие, признак-фактор (х) и признак-результат (х ).
Например, взаимосвязь между объемом производимой продукции и себестоимостью единицы продукции проявляется следующим образом: с увеличением объема производимой продукции себестоимость единицы продукции снижается. Здесь, объем продукции - признак-фактор, а себестоимость - признак результат.
Связи соответствия - в случае, когда нет возможности выделить причину и следствие, в частности оба согласованно меняющихся признака являются следствиями третьего признака. Механизм связи:
Функциональная;
Стохастическая (статистическая).
Под функциональной зависимостью между явлениями понимается такая связь, которая может быть выражена для каждого случая вполне определенно строгой математической формулой. При функциональной зависимости каждому значению одной величины соответствует одно или несколько, но вполне определенных значений другой величины. Например, отношения между стороной и площадью квадрата (S = а 2 ), временем и путем при движении с постоянной скоростью (S = vt ) и тому подобными величинами, часто встречающимися в геометрии, механике. Для массовых социальных явлений характерны зависимости другого рода, возникающие в результате взаимодействия многих причин и условий и осложненные действием объективной случайности и ошибок наблюдения. Выразить подобные зависимости с помощью однозначных, точных формул, пригодных для описания каждого отдельного случая невозможно.
При статистической связи разным значениям одной переменной соответствуют разные распределения значений другой переменной.
Частным случаем статистической связи является корреляционная связь.
Корреляционная зависимость - взаимосвязь между признаками, состоящая в том, что средняя величина значений одного признака меняется в зависимости от изменения другого признака (например, зависимость между выработкой и стажем работы, между числом судимостей преступника и временем его нахождения на свободе между ними и др.). Здесь, в отличие от функциональной зависимости, в индивидуальных случаях при определении значения одного признака могут быть разные значения другого, то есть совсем не обязательно, что обнаруженная связь будет подтверждаться в каждом конкретном случае.
Например, изменение профессорско-преподавательского состава в сторону увеличения числа
преподавателей, имеющих ученую степень, приводит в конечном итоге к повышению качества образования. Но это не значит, что каждый отдельно взятый выпускник будет обладать большим набором знаний, чем выпускник учебного заведения, имеющего более «слабый» преподавательский состав.
Следовательно, в статистическом анализе корреляционные зависимости проявляются не между каждой парой сопоставляемых данных, а между изменениями в рядах распределения множества соответствующих величин.
Кроме того, что корреляционная зависимость не имеет функционального характера, следует учитывать две ее особенности:
Вывод может быть сделан только на основе анализа достаточно больших статистических совокупностей, позволяющих по строить относительно длинные статистические ряды;
- желательно, чтобы число наблюдений было не менее чем в 5-6 раз больше числа факторов.
Корреляционный анализ имеет смысл лишь в тех случаях, когда возможность причинной связи между анализируемыми признаками теоретически обоснована хотя бы на уровне содержательной гипотезы.
Если с изменением значения признака среднее значение другого признака не изменяется закономерным образом, но закономерно изменяется другая статистическая характеристика (например, показатели вариации), то связь не является корреляционной, но является статистической.
В случае статистической связи предполагается, что оба признака имеют случайную вариацию индивидуальных значений относительно средней величины, то есть каждый из признаков принимает несколько случайных значений. В том случае, если такую вариацию имеет один из признаков, а значения другого являются жестко детерминированными, то говорят о регрессии, но не о статистической связи. При анализе динамических рядов можно измерять регрессию уровней ряда (имеющих случайную колеблемость) на номера лет. Например, динамика производства продукции. Но, нельзя говорить о корреляции (взаимосвязи) между выпуском продукции и временем и оценивать между ними тесноту связи.
Направление связи:
Обратные.
В том случае, если при увеличении признака-фактора растет признак-результат, говорят о прямой корреляционной связи. Например, чем выше уровень алкоголизации общества, тем выше преступность, причем преступность специфичная («пьяная»). Если при увеличении признака-причины уменьшается признак-результат, говорят об обратной корреляционной зависимости. Например, чем выше социальный контроль в обществе, тем ниже преступность.
Форма связи:
Прямолинейные;
Криволинейные.
И прямые, и обратные связи могут быть прямолинейными и криволинейными. Математически прямолинейные связи могут быть описаны с помощью уравнения прямой:
y = а + вх,
где у - признак-результат; х - признак-фактор.
Криволинейные связи носят иной характер. Возрастание величины факторного признака оказывается неравномерное влияние на величину результирующего признака.
Например, связь преступлений с возрастом нарушителей. Вначале криминальная активность лиц растет прямо пропорционально увеличению возраста (приблизительно до 30 лет), а затем начинает снижаться. Математически такие связи описываются с помощью кривых (гиперболы, параболы).
Прямолинейные корреляционные связи могут быть однофакторными, когда исследуется связь между одним признаком-фактором и одним признаком-следствием {парная корреляция). Они могут быть многофакторными, когда исследуется влияние многих взаимодействующих между собой признаков-факторов на признак-следствие (множественная корреляция).