Чаще всего именно геометрические задачи вызывают затруднения у абитуриентов, выпускников, участников математических олимпиад. Если посмотреть статистику ЕГЭ 2010 года, то видно, что к геометрической задаче С4 приступило около 12% участников, а получило полный балл только 0,2% участников, а в целом задача оказалась самой сложной из всех предложенных.
Очевидно, что чем раньше мы предложим школьникам красивые или неожиданные по способу решения задачи, тем больше вероятность заинтересовать и увлечь всерьёз и надолго. Но, как же трудно найти интересные и сложные задачи на уровне 7 класса, когда только начинается систематическое изучение геометрии. Что можно предложить интересующемуся математикой школьнику, знающему только признаки равенства треугольников, свойства смежных и вертикальных углов? Однако, можно ввести понятие касательной к окружности, как прямой, имеющей с окружностью одну общую точку; принять, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Конечно, стоит рассмотреть все возможные случаи расположения двух окружностей и общих касательных к ним, которых можно провести от нуля до четырёх. Доказав ниже предложенные теоремы, можно значительно расширить набор задач для семиклассников. При этом попутно доказать важные или просто интересные и занимательные факты. Причём, поскольку многие утверждения не входят в школьный учебник, то обсуждать их можно и на занятиях кружка и с выпускниками при повторении планиметрии. Актуальными эти факты оказались в прошлом учебном году. Так как многие диагностические работы и сама работа ЕГЭ содержали задачу, для решения которой необходимо было использовать доказываемое ниже свойство отрезка касательной.
Т 1
Отрезки касательных к окружности,
проведённые из
одной точки равны (рис. 1)
Вот именно с теоремой
можно сначала познакомить семиклассников.
В процессе доказательства
использовали признак равенства прямоугольных треугольников,
сделали
вывод о том, что центр окружности лежит на биссектрисе угла ВСА
.
Попутно вспомнили, что биссектриса угла есть геометрическое место точек
внутренней области угла, равноудалённых от его сторон. На этих доступных
даже только начинающим изучать геометрию фактах основывается решение уже
далеко нетривиальной задачи.
1. Биссектрисы углов А
, В
и С
выпуклого
четырёхугольника АВСD
пересекаются в одной точке. Лучи АВ
и DC
пересекаются в точке Е
, а лучи
ВС
и АD
в точке F
. Докажите, что у невыпуклого четырёхугольника AECF
суммы длин противоположных сторон равны.
Решение (рис. 2).
Пусть О
– точка пересечения данных
биссектрис.
Тогда О
равноудалена от всех сторон четырёхугольника
АВСD
, то есть
является центром окружности вписанной в
четырёхугольник. По теореме 1
верны равенства: AR
= AK
,
ER
= EP
, FT
= FK
. Почленно сложим левые и
правые части, получим верное равенство:
(AR + ER ) + FT = (AK +FK ) + EP ; AE + (FC + CT ) = AF + (ЕC + PC ). Так как СТ = РС , то АЕ + FC = AF + ЕC , что и требовалось доказать.
Рассмотрим необычную по формулировке задачу, для решения которой достаточно знание теоремы 1 .
2. Существует ли n -угольник, стороны которого последовательно 1, 2, 3, …, n , в который можно вписать окружность?
Решение. Допустим, такой n -угольник существует. А 1 А 2 =1, …, А n-1 А n = n – 1, А n А 1 = n . B 1 , …, B n – соответствующие точки касания. Тогда по теореме 1 A 1 B 1 = A 1 B n < 1, n – 1 < A n B n < n. По свойству отрезков касательных A n B n = A n B n-1 . Но, A n B n-1 < A n-1 А n = n – 1. Противоречие. Следовательно, нет n -угольника, удовлетворяющего условию задачи.
Т 2
Суммы противолежащих сторон
четырёхугольника, описанного около
окружности, равны (рис. 3)
Школьники, как правило, легко доказывают это свойство описанного четырёхугольника. После доказательства теоремы 1 , оно является тренировочным упражнением. Можно обобщить этот факт – суммы сторон описанного чётноугольника, взятых через одну, равны. Например, для шестиугольника ABCDEF верно: AB + CD + EF = BC + DE + FА.
Решение (рис. 1) . Так как четырёхугольники ABEF и ECDF вписанные, то по теореме 2 Р ABEF = 2(AB + EF) и Р ECDF = 2(CD + EF), по условию
Р ABEF – Р ECDF = 2(AB + EF) – 2(CD + EF) = 2p. AB – CD = p. АВ = а + р.
проведена касательная к окружности, пересекающая отрезки АВ и АС в точках М и Р соответственно. Докажите, что периметр треугольника АМР и величина угла МОР не зависят от выбора точки Х.
Решение (рис. 5). По теореме 1 МВ = МХ и РС = РХ. Поэтому периметр треугольника АМР равен сумме отрезков АВ и АС. Или удвоенной касательной, проведённой к вневписанной окружности для треугольника АМР . Величина угла МОР измеряется половиной величины угла ВОС , который не зависит от выбора точки Х .
Решение (рис. 6).
Способ первый (алгебраический). Пусть
АК
= АN = x,
тогда
BK = BM = c – x,
CM = CN = a – c + x. АС =
АN + NC,
тогда можем составить уравнение относительно х:
b = x + (a – c + x).
Откуда
.
Способ второй (геометрический). Обратимся к схеме.
Отрезки
равных касательных, взятые по одному, в сумме дают полупериметр
треугольника. Красный и зелёный составляют сторону а.
Тогда
интересующий нас отрезок х = р – а.
Безусловно,
полученные результаты совпадают.
.
З
аметим, что из опорной задачи 1
следует, что
СМ = р Δ
АВС.
b + x = p; х = р – b.
Полученные формулы имеют применение в следующих задачах.4. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный
треугольник
с катетами а, b
и гипотенузой с. Решение (рис. 8).
Т
ак как OMCN –
квадрат, то радиус вписанной окружности равен
отрезку касательной CN.
.
5. Докажите, что точки касания вписанной и вневписанной окружности со стороной треугольника симметричны относительно середины этой стороны.
Решение (рис. 9).
Заметим,
АК – отрезок касательной вневписанной окружности для треугольника АВС.
По формуле (2)
.
ВМ
– отрезок
касательной вписанной окружности для треугольника
АВС.
По формуле (1)
.
АК = ВМ,
а это и означает, что точки К и М
равноудалены от середины стороны
АВ,
что и требовалось доказать.
6. К двум окружностям проведены две общие внешние касательные и одна внутренняя. Внутренняя касательная пересекает внешние в точках А, В и касается окружностей в точках А 1 и В 1 . Докажите, что АА 1 = ВВ 1 .
Решение (рис. 10). Стоп… Да что тут решать? Это же просто другая формулировка предыдущей задачи. Очевидно, что одна из окружностей является вписанной, а другая вневписанной для некоего треугольника АВС. А отрезки АА 1 и ВВ 1 соответствуют отрезкам АК и ВМ задачи 5. Примечательно, что задача, предлагавшаяся на Всероссийской олимпиаде школьников по математике, решается столь очевидным образом.
7. Стороны пятиугольника в порядке обхода равны 5, 6, 10, 7, 8. Доказать, что в этот пятиугольник нельзя вписать окружность.
Решение (рис. 11) . Предположим, что в пятиугольник АВСDE можно вписать окружность. Причём стороны AB , BC , CD , DE и ЕA равны соответственно 5, 6, 10, 7 и 8. Отметим последовательно точки касания – F , G , H , M и N . Пусть длина отрезка AF равна х .
Тогда BF = FD – AF = 5 – x = BG . GC = BC – BG = = 6 – (5 – x ) = 1 + x = CH . И так далее: HD = DM = 9 – x ; ME = EN = x – 2, AN = 10 – х .
Но, AF = AN . То есть 10 – х = х ; х = 5. Однако, отрезок касательной AF не может равняться стороне АВ . Полученное противоречие и доказывает, что в данный пятиугольник нельзя вписать окружность.
8. В шестиугольник вписана окружность, его стороны в порядке обхода равны 1, 2, 3, 4, 5. Найти длину шестой стороны.
Решение. Конечно, можно отрезок касательной обозначить за х , как и в предыдущей задаче, составить уравнение и получить ответ. Но, гораздо эффективнее и эффектнее использовать примечание к теореме 2 : суммы сторон описанного шестиугольника, взятых через одну, равны.
Тогда 1 + 3 + 5 = 2 + 4 + х , где х – неизвестная шестая сторона, х = 3.
Решение (рис.12)
. Так как длины всех сторон являются целыми
числами, то равны дробные
части длин отрезков BT
, BP
,
DM
, DN
, AK
и AT
. Имеем,
АТ
+ ТВ
= 1,
и дробные части длин
отрезков AT
и TB
равны. Это возможно
только тогда, когда
АТ
+ ТВ
= 0,5.
По теореме 1
ВТ
+ ВР
.
Значит, ВР
= 0,5.
Заметим, что условие СD
= 3 оказалось невостребованным.
Очевидно,
авторы задачи предполагали какое-то другое решение. Ответ: 0,5.
10. В четырёхугольнике ABCD AD = DC, AB = 3, BC = 5. Окружности, вписанные в треугольники ABD и CBD касаются отрезка BD в точках M и N соответственно. Найти длину отрезка MN.
Решение (рис. 13). MN = DN – DM. По формуле (1) для треугольников DBA и DBС соответственно, имеем:
11. В четырёхугольник ABCD можно вписать окружность. Окружности, вписанные в треугольники ABD и CBD имеют радиусы R и r соответственно. Найти расстояние между центрами этих окружностей.
Решение (рис. 13). Так как по условию четырёхугольник ABCD вписанный, по теореме 2 имеем: AB + DC = AD + BC. Воспользуемся идеей решения предыдущей задачи. . Это означает, что точки касания окружностей с отрезком DM совпадают. Расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов. Ответ: R + r.
Фактически доказано, что условие – в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность, равносильно условию – в выпуклом четырехугольнике ABCD окружности, вписанные в треугольники ABC и ADC касаются друг друга. Верно обратное.
Доказать эти два взаимно-обратных утверждения предлагается в следующей задаче, которую можно считать обобщением данной.
12. В выпуклом четырехугольнике ABCD (рис. 14 ) окружности, вписанные в треугольники ABC и ADC касаются друг друга. Докажите, что окружности, вписанные в треугольники ABD и BDC также касаются друг друга.
13. В треугольнике АВС со сторонами а, b и c на стороне ВС отмечена точка D так, что окружности, вписанные в треугольники АВD и ACD касаются отрезка AD в одной точке. Найти длину отрезка BD .
Решение (рис. 15). Применим формулу (1) для треугольников ADC
и ADB
, вычислив DM
двумя
Оказывается, D – точка касания со стороной ВС окружности, вписанной в треугольник АВС . Верно обратное: если вершину треугольника соединить с точкой касания вписанной окружности на противоположной стороне, то окружности, вписанные в получившиеся треугольники, касаются друг друга.
14. Центры О 1 , О 2 и О 3 трёх непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треугольника. Из точек О 1 , О 2 , О 3 проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке.
Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих.
Решение (рис. 16). Важно понять, как использовать тот факт, что заданные окружности имеют одинаковые радиусы. Заметим, что отрезки ВR и DМ равны, что следует из равенства прямоугольных треугольников О 1 ВR и O 2 BM . Аналогично DL = DP , FN = FK . Почленно складываем равенства, затем вычитаем из полученных сумм одинаковые отрезки касательных, проведенных из вершин А , С , и Е шестиугольника ABCDEF : АR и AK , CL и CM , EN и EP . Получаем требуемое.
Вот пример задачи по стереометрии, предлагавшейся на XII Международном математическом турнире старшеклассников “Кубок памяти А. Н. Колмогорова”.
16. Дана пятиугольная пирамида SA 1 A 2 A 3 A 4 A 5 . Существует сфера w , которая касается всех ребер пирамиды и другая сфера w 1 , которая касается всех сторон основания A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 и продолжений боковых рёбер SA 1 , SA 2 , SA 3 , SA 4 , SA 5 за вершины основания. Докажите, что вершина пирамиды равноудалена от вершин основания. (Берлов С. Л., Карпов Д. В.)
так как отрезки касательных равны. Пусть C i A i = a i . Тогда p SAiAi +1 = s+a i +a i +1 , и из равенства периметров следует, что a 1 = a 3 = a 5 = a 2 = a 4 , откуда SA 1 = SA 2 = SA 3 = SA 4 = SA 5 .
17. ЕГЭ. Диагностическая работа 8.12.2009 г, С–4. Дана трапеция ABCD , основания которой BC = 44, AD = 100, AB = CD = 35. Окружность, касающаяся прямых AD и AC , касается стороны CD в точке K . Найдите длину отрезка CK .ВDС и ВDА , касаются стороны ВD в точках Е и F . Найдите длину отрезка EF .
Решение. Возможны два случая (рис. 20 и рис. 21). По формуле (1) найдём длины отрезков DE и DF .
В первом случае AD = 0,1АС , СD = 0,9AC . Во втором – AD = 0,125АС , СD = 1,125AC . Подставляем данные и получаем ответ: 4,6 или 5,5.
Задачи для самостоятельного решения/
1. Периметр равнобедренной трапеции, описанной около окружности равен 2р. Найдите проекцию диагонали трапеции на большее основание. (1/2р)
2. Открытый банк задач ЕГЭ по математике. В4. К окружности, вписанной в треугольник ABC (рис. 22), проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника. (24)
3. В треугольник АВС вписана окружность. MN – касательная к окружности, MÎ АС, NÎ ВС, ВС = 13, АС = 14, АВ = 15. Найдите периметр треугольника MNC. (12)
4. К окружности, вписанной в квадрат со стороной а, проведена касательная, пересекающая две его стороны. Найдите периметр отсечённого треугольника. (а)
5. Окружность вписана в пятиугольник со сторонами а , d , c , d и e . Найдите отрезки, на которые точка касания делит сторону, равную а .
6. В треугольник со сторонами 6, 10 и 12 вписана окружность. К окружности проведена касательная так, что она пересекает две большие стороны. Найдите периметр отсечённого треугольника. (16)
7. CD – медиана треугольника ABC . Окружности, вписанные в треугольники ACD и BCD , касаются отрезка CD в точках M и N . Найдите MN , если АС – ВС = 2. (1)
8. В треугольнике АВС
со сторонами а, b
и c
на стороне ВС
отмечена точка D
. К окружностям,
вписанным в треугольники АВD
и ACD
, проведена общая касательная,
пересекающая AD
в точке М
. Найти длину отрезка АМ
. (Длина
АМ
не зависит от положения точки D
и
равна ½ (c + b – a
))
9. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса а . Радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов, равен R. Найдите длину гипотенузы. (R – a )
10. В треугольнике АВС известны длины сторон: АВ = с , АС = b , ВС = а . Вписанная в треугольник окружность касается стороны АВ в точке С 1 . Вневписанная окружность касается продолжения стороны АВ за точку А в точке С 2 . Определите длину отрезка С 1 С 2 . (b )
11. Найдите длины сторон треугольника, разделённых точкой касания вписанной окружности радиуса 3 см на отрезки 4 см и 3 см. (7, 24 и 25 см в прямоугольном треугольнике)
12. Соросовская олимпиада 1996 г, 2 тур, 11 класс . Дан треугольник АВС , на сторонах которого отмечены точки А 1 , В 1 , С 1 . Радиусы окружностей вписанных в треугольники АС 1 В 1 , ВС 1 А 1 , СА 1 В 1 равны по r . Радиус окружности, вписанной в треугольник А 1 В 1 С 1 равен R . Найти радиус окружности, вписанной в треугольник АВС . (R + r ).
Задачи 4–8 взяты из задачника Гордина Р. К. “Геометрия. Планиметрия.” Москва. Издательство МЦНМО. 2004.
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Теорема (свойство касательной к окружности)
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Дано
А – точка касания
Доказать : р ОА
Доказательство.
Докажем методом «от противного».
Предположим, что р ОА, тогда ОА – наклонная к прямой р.
Если из точки О провести перпендикуляр ОН к прямой р, то его длина будет меньше радиуса: ОН< ОА=r
Получим, что расстояние от центра окружности к прямой р (ОН) меньше радиуса (r) , значит прямая р – секущая (т.е. имеет с окружностью две общие точки), что противоречит условию теоремы (р- касательная).
Значит предположение неверно, следовательно прямая р перпендикулярна ОА.
Теорема (Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки)
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. 
Дано : окр. (О; r)
АВ и АС – касательные к окр. (О; r)
Доказать : АВ=АС
Доказательство
1) ОВ АВ, ОС АС, как радиусы, проведенные в точку касания (свойство касательной)
2) Рассмотрим тр. АОВ и тр. АОС – п/у
АО – общая
ОВ=ОС (как радиусы)
Значит, АВО = АОС (по гипотенузе и катету). Следовательно,
АВ =АС, <3 = < 4 (как соответственные элементы в равных тр-ках). ч.т.д.
Теорема (Признак касательной)
Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной. 
Дано : ОА – радиус окружности
Доказать : р- касательная к окружности
Доказательство
ОА – радиус окружности (по условию) (ОА=r)
ОА – перпендикуляр из О к прямой р (ОА =d)
Значит, r=ОА=d , значит прямая р и окружность имеют одну общую точку.
Следовательно, прямая р – касательная к окружности. ч.т.д.
3 .Свойство хорд и секущих.
Свойства касательной и секущей
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром окружности.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой (на рисунке это отрезок). Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности.
1. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
2. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
3. Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
Прямая относительно окружности может находиться в следующих трех положениях:- Расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса. В этом случае все точки прямой лежат вне круга.
- Расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса. В этом случае прямая имеет точки, лежащие внутри круга и так как прямая бесконечна в обе стороны, то она пересекается сокружностью в 2 точках.
- Расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу. Прямая - касательная.
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности.
Общая точка называется в этом случае точкой касания.
Возможность существования касательной, и притом проведенной через любую точку окружности, как точку касания, доказывается следующей теоремой.
Теорема. Если прямая перпендикулярна к радиусу в его конце, лежащем на окружности, то эта прямая - касательная.
Пусть O (рис) - центр некоторого круга и OA какой-нибудь его радиус. Через его конец A проведем MN ^ OA.
Требуется доказать, что прямая MN - касательная, т.е. что эта прямая имеет с окружностью только одну общую точку A.
Допустим противное: пусть MN имеет с окружностью еще другую общую точку, например B.
Тогда прямая OB была бы радиусом и, следовательно, равнялась бы OA.
Но этого быть не может, так как, если OA -перпендикуляр, то OB должна быть наклонной к MN, а наклонная больше перпендикуляра.
Обратная теорема. Если прямая касательна к окружности, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к ней.
Пусть MN - касательная к окружности, A - точка касания и O - центр этой окружности.
Требуется доказать, что OA^MN.
Допустим противное, т.е. предположим, что перпендикуляром, опущенным из O на MN, будет не OA , а какая-нибудь другая прямая, например, OB.
Возьмем BС = AB и проведем OС.
Тогда OA и OС будут наклонные, одинаково удаленные от перпендикуляра OB, и следовательно, OС = OA.
Из этого следует, что окружность, учитывая наше предположение, будет иметь с прямой MN две общие точки: A и С, т.е. MN будет не касательная, а секущая, что противоречит условию.
Следствие. Через всякую данную на окружности точку можно провести касательную к этой окружности и притом только одну, так как через эту точку можно провести перпендикуляр, и притом только один, к радиусу, проведенному в нее.
Теорема. Касательная, параллельная хорде, делит в точке касания дугу, стягиваемую хордой, пополам.
Пусть прямая AB (рис.) касается окружности в точке M и параллельна хорде СD.
Требуется доказать, что ÈCM = ÈMD.
Проведя через точку касания диаметр ME, получаем: EM ^ AB, и следовательно, EM ^ СВ.
Поэтому СM=MD.
Задача. Через данную точку провести касательную к данной окружности.
Если данная точка находится на окружности, то проводят через нее радиус и через конец радиуса перпендикулярную прямую. Эта прямая будет искомой касательной.
Рассмотрим тот случай, когда точка дана вне круга.
Пусть требуется (рис.) провести к окружности с центром O касательную через точку A.
Для этого из точки A, как из центра, описываем дугу радиусом AO, а из точки O, как центра, пересекаем эту дугу в точках B и С раствором циркуля, равным диаметру данного круга.
Проведя затем хорды OB и OС, соединим точку A с точками D и E, в которых эти хорды пересекаются с данной окружностью.
Прямые AD и AE - касательные к окружности O.
Действительно, из построения видно, что тр-ки AOB и AOС равнобедренные (AO = AB =AС) с основаниями OB и OС, равными диаметру круга O.
Так как OD и OE - радиусы, то D - середина OB, а E - середина OС, значит AD и AE - медианы, проведенные к основаниям равнобедренных тр-ков, и потому перпендикулярны к этим основаниям. Если же прямые DA и EA перпендикулярны к радиусам OD и OE, то они - касательные.
Следствие. Две касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром.
Так AD=AE и ÐOAD = ÐOAE (рис.), потому что прямоугольные тр-ки AOD и AOE, имеющие общую гипотенузу AO и равные катеты OD и OE (как радиусы), равны.
Заметим, что здесь под словом “касательная” подразумевается собственно “отрезок касательной” от данной точки до точки касания.
Задача. Провести касательную к данной окружности O параллельно данной прямой AB (рис.).
Опускаем на AB из центра O перпендикуляр OС и через точку D, в которой этот перпендикуляр пересекается с окружностью, проводим EF || AB.
Искомая касательная будет EF.
Действительно, так как OС ^ AB и EF || AB, то EF ^ OD, а прямая, перпендикулярная к радиусу в его конце, лежащем на окружности - касательная.
Задача. К двум окружностям O и O 1 провести общую касательную (рис.).
Анализ . Предположим, что задача решена.
Пусть AB будет общая касательная, A и B - точки касания.
Очевидно, что если мы найдем одну из этих точек, например, A, то затем легко найдем и другую.
Проведем радиусы OA и O 1 B. Эти радиусы, будучи перпендикулярны к общей касательной, параллельны между собой.
Поэтому, если из O 1 проведем O 1 С || BA, то тр-к OСO 1 будет прямоугольный при вершине С.
Вследствие этого, если опишем из O, как центра, радиусом OС окружность, то она будет касаться прямой O 1 С в точке С.
Радиус этой вспомогательной окружности известен: он равен OA – СA= OA - O 1 B, т.е. он равен разности радиусов данных окружностей.
Построение. Из центра O описываем окружность радиусом, равным разности данных радиусов.
Из O 1 проводим к этой окружности касательную O 1 С (способом, указанным в предыдущей задаче).
Через точку касания С проводим радиус OС и продолжаем его до встречи с данной окружностью в точке A. Наконец из A проводим AB параллельно СO 1.
Совершенно таким же способом мы можем построить другую общую касательную A 1 B 1 (рис.). Прямые AB и A 1 B 1 называют внешними общими касательными.
Можно еще провести две внутренние касательные следующим образом:
Анализ. Предположим, что задача решена (рис.). Пусть AB - искомая касательная.
Проведем радиусы OA и O 1 B в точки касания A и B. Так как эти радиусы оба перпендикулярны к общей касательной, то они параллельны между собой.
Поэтому, если из O 1 проведем O 1 С || BA и продолжим OA до точки С, то OС будет перпендикуляр к O 1 С.
Вследствие этого окружность, описанная радиусом OС из точки O, как центра, будет касаться прямой O 1 С в точке С.
Радиус этой вспомогательной окружности известен: он равен OA+AС = OA+O 1 B, т.е. он равен сумме радиусов данных окружностей.
Построение. Из O как центра, описываем окружность радиусом, равным сумме данных радиусов.
Из O 1 проводим к этой окружности касательную O 1 С.
Точку касания С соединяем с O.
Наконец через точку A, в которой OС пересекается с данной окружностью, проводим AB = O 1 С.
Подобным же способом можем построить другую внутреннюю касательную A 1 B 1 .
Общее определение касательной
Пусть к окружности с центром (рис.) проведены через точку A касательная AT и какая-нибудь секущая AM.
Станем вращать эту секущую вокруг точки A так, чтобы другая точка пересечения B все ближе и ближе придвигалась к A.
Тогда перпендикуляр OD, опущенный из центра на секущую, будет все больше и больше приближаться к радиусу OA, и угол AOD может стать меньше всякого малого угла.
Угол MAT, образованный секущей и касательной, равен углу AOD (вследствие перпендикулярности их сторон).
Поэтому при неограниченном приближении точки B к A угол MAT также может стать как угодно мал.
Это выражают иными словами так:
касательная есть предельное положение, к которому стремится секущая, проведенная через точку касания, когда вторая точка пересечения неограниченно приближается к точке касания.
Это свойство принимают за определение касательной, когда речь идет о какой угодно кривой.
Так, касательной к кривой AB (рис.) называется предельное положение MT, к которому стремится секущая MN, когда точка пересечения P неограниченно приближается к M.
Заметим,что определяемая таким образом касательная может иметь с кривой более одной общей точки (как это видно на рис).
Доказательство
Если хорда является диаметром, то теорема очевидна.
На рисунке 287 изображена окружность с центром O , M - точка пересечения диаметра CD и хорды AB , CD ⊥ AB . Надо доказать, что AM = MB .
Проведём радиусы OA и OB . В равнобедренном треугольнике AOB (OA = OB ) отрезок OM - высота, а значит, и медиана, т. е. AM = MB .
Теорема 20.2
Диаметр окружности, делящий хорду, отличную от диаметра, пополам, перпендикулярен этой хорде.
Докажите эту теорему самостоятельно. Подумайте, будет ли верным это утверждение, если хорда является диаметром.
На рисунке 288 показаны все возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности. На рисунке 288, а они не имеют общих точек, на рисунке 288, б - имеют две общие точки, на рисунке 288, в - одну.
|
Рис. 288 |
||
|
|
|
|
Определение
Прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку, называют касательной к окружности.
Касательная к окружности имеет только одну общую точку с кругом, ограниченным этой окружностью. На рисунке 288, в прямая a - касательная к кругу с центром в точке O , A - точка касания.
Если отрезок (луч) принадлежит касательной к окружности и имеет с этой окружностью общую точку, то говорят, что отрезок (луч) касается окружности. Например, на рисунке 289 изображён отрезок AB , который касается окружности в точке С .
Теорема 20.3
(свойство касательной)
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Доказательство
На рисунке 290 изображена окружность с центром O , A - точка касания прямой a и окружности. Надо доказать, что OA ⊥ a .
|
Рис. 289 |
Рис. 290 |
Рис. 291 |
|
|
|
|
Предположим, что это не так, т. е. отрезок OA - наклонная к прямой a . Тогда из точки O опустим перпендикуляр OM на прямую a (рис. 291). Поскольку точка A - единственная общая точка прямой a и круга с центром O , то точка M не принадлежит этому кругу. Отсюда OM = MB + OB , где точка B - точка пересечения окружности и перпендикуляра OM . Отрезки OA и OB равны как радиусы окружности. Таким образом, OM > OA. Получили противоречие: перпендикуляр OM больше наклонной OA . Следовательно, OA ⊥ a .
Теорема 20.4
(признак касательной к окружности)
Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.
Доказательство
|
Рис. 292 |
|
|
На рисунке 290 изображена окружность с центром в точке O , отрезок OA - её радиус, точка A принадлежит прямой a , OA ⊥ a . Докажем, что прямая a - касательная к окружности.
Пусть прямая a не является касательной, а имеет ещё одну общую точку B с окружностью (рис. 292). Тогда ∆ AOB - равнобедренный (OA = OB как радиусы). Отсюда ∠ OBA = ∠ OAB = 90°. Получаем противоречие: в треугольнике AOB есть два прямых угла. Следовательно, прямая a является касательной к окружности.
Следствие
Если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к данной окружности.
|
Рис. 293 |
|
|
Докажите это следствие самостоятельно.
Задача. Докажите, что если через данную точку к окружности проведены две касательные, то отрезки касательных, соединяющих данную точку с точками касания, равны.
Решение. На рисунке 293 изображена окружность с центром O .Прямые AB и AC - касательные, точки B и C - точки касания. Надо доказать, что AB = AC .
Проведём радиусы OB и OC в точки касания. По свойству касательной OB ⊥ AB и OC ⊥ AC . В прямоугольных треугольниках AOB и AOC катеты OB и OC равны как радиусы одной окружности, AO - общая гипотенуза. Следовательно, треугольники AOB и AOC равны по гипотенузе и катету. Отсюда AB = AC .
- Как делит хорду диаметр, перпендикулярный ей?
- Чему равен угол между хордой, отличной от диаметра, и диаметром, делящим эту хорду пополам?
- Опишите все возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности.
- Какую прямую называют касательной к окружности?
- Каким свойством обладает радиус, проведённый в точку касания прямой и окружности?
- Сформулируйте признак касательной к окружности.
- Каким свойством обладают касательные, проведённые к окружности через одну точку?
Практические задания
507. Начертите окружность с центром O , проведите хорду AB . Пользуясь угольником, разделите эту хорду пополам.
508. Начертите окружность с центром O , проведите хорду CD . Пользуясь линейкой со шкалой, проведите диаметр, перпендикулярный хорде CD .
509. Начертите окружность, отметьте на ней точки A и B .Пользуясь линейкой и угольником, проведите прямые, которые касаются окружности в точках A и B .
510. Проведите прямую a и отметьте на ней точку M .Пользуясь угольником, линейкой и циркулем, проведите окружность радиуса 3 см, которая касается прямой a в точке M .Сколько таких окружностей можно провести?
Упражнения
511. На рисунке 294 точка O - центр окружности, диаметр CD перпендикулярен хорде AB . Докажите, что ∠ AOD = ∠ BOD .
512. Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.
513. Докажите, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.
514. Верно ли, что прямая, перпендикулярная радиусу окружности, касается этой окружности?
515. Прямая CD касается окружности с центром O в точке A , отрезок AB - хорда окружности, ∠ BAD = 35° (рис. 295). Найдите ∠ AOB .
516. Прямая CD касается окружности с центром O в точке A , отрезок AB - хорда окружности, ∠ AOB = 80° (см. рис. 295). Найдите ∠ BAC .
517. Дана окружность, диаметр которой равен 6 см. Прямая a удалена от её центра на: 1) 2 см; 2) 3 см; 3) 6 см. В каком случае прямая a является касательной к окружности?
518. В треугольнике ABC известно, что ∠ C = 90°. Докажите, что:
1) прямая BC является касательной к окружности с центром A , проходящей через точку C ;
2) прямая AB не является касательной к окружности с центром C , проходящей через точку A .
519. Докажите, что диаметр окружности больше любой хорды, отличной от диаметра.
520. В окружности с центром O через середину радиуса провели хорду AB , перпендикулярную ему. Докажите, что ∠ AOB = 120°.
521. Найдите угол между радиусами OA и OB окружности, если расстояние от центра O окружности до хорды AB в 2 раза меньше: 1) длины хорды AB ; 2) радиуса окружности.
522. В окружности провели диаметр AB и хорды AC и CD так, что AC = 12 см, ∠ BAC = 30°, AB ⊥ CD . Найдите длину хорды CD .
523. Через точку M к окружности с центром O провели касательные MA и MB , A и B - точки касания, ∠ OAB = 20°. Найдите ∠ AMB .
524. Через концы хорды AB , равной радиусу окружности, провели две касательные, пересекающиеся в точке C .Найдите ∠ ACB .
525. Через точку C окружности с центром O провели касательную к этой окружности, AB - диаметр окружности. Из точки A на касательную опущен перпендикуляр AD . Докажите, что луч AC - биссектриса угла BAD .
526. Прямая AC касается окружности с центром O в точке A (рис. 296). Докажите, что угол BAC в 2 раза меньше угла AOB .
|
Рис. 294 |
Рис. 295 |
Рис. 296 |
|
|
|
|
527. Отрезки AB и BC - соответственно хорда и диаметр окружности, ∠ ABC = 30°. Через точку A провели касательную к окружности, пересекающую прямую BC в точке D .Докажите, что ∆ ABD - равнобедренный.
528. Известно, что диаметр AB делит хорду CD пополам, но не перпендикулярен ей. Докажите, что CD - также диаметр.
529. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются данной прямой в данной точке.
530. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются обеих сторон данного угла.
531. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются данной прямой.
532. Прямые, касающиеся окружности с центром O в точках A и B , пересекаются в точке K , ∠ AKB = 120°. Докажите, что AK + BK = OK .
533. Окружность касается стороны AB треугольника ABC в точке M и касается продолжения двух других сторон. Докажите, что сумма длин отрезков BC и BM равна половине периметра треугольника ABC .
|
Рис. 297 |
|
|
534. Через точку C проведены касательные AC и BC к окружности, A и B - точки касания (рис. 297). На окружности взяли произвольную точку M , лежащую в одной полуплоскости с точкой C относительно прямой AB , и через неё провели касательную к окружности, пересекающую прямые AC и BC в точках D и E соответственно. Докажите, что периметр треугольника DEC не зависит от выбора точки M .
Упражнения для повторения
535. Докажите, что середина M отрезка, концы которого принадлежат двум параллельным прямым, является серединой любого отрезка, который проходит через точку M и концы которого принадлежат этим прямым.
536. Отрезки AB и CD лежат на одной прямой и имеют общую середину. Точку M выбрали так, что треугольник AMB - равнобедренный с основанием AB . Докажите, что ∆ CMD также является равнобедренным с основанием CD .
537. На стороне MK треугольника MPK отметили точки E и F так, что точка E лежит между точками M и F , ME = EP , PF = FK . Найдите угол M , если ∠ EPF = 92°, ∠ K = 26°.
538. В остроугольном треугольнике ABC проведена биссектриса BM , из точки M на сторону BC опущен перпендикуляр MK , ∠ ABM = ∠ KMC . Докажите, что треугольник ABC - равнобедренный.
Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте
539. Установите закономерность форм фигур, изображённых на рисунке 298. Какую фигуру надо поставить следующей?
|
Рис. 298 |
Секущие, касательные - все это сотни раз можно было слышать на уроках геометрии. Но выпуск из школы позади, проходят года, и все эти знания забываются. Что следует вспомнить?
Сущность
Термин "касательная к окружности" знаком, наверное, всем. Но вряд ли у всех получится быстро сформулировать его определение. Между тем касательной называют такую прямую, лежащую в одной плоскости с окружностью, которая пересекает ее только в одной точке. Их может существовать огромное множество, но все они обладают одинаковыми свойствами, о которых речь пойдет ниже. Как нетрудно догадаться, точкой касания называют то место, где окружность и прямая пересекаются. В каждом конкретном случае она одна, если же их больше, то это будет уже секущая.
История открытия и изучения
Понятие касательной появилось еще в древности. Построение этих прямых сначала к окружности, а потом к эллипсам, параболам и гиперболам с помощью линейки и циркуля проводилось еще на начальных этапах развития геометрии. Разумеется, история не сохранила имя первооткрывателя, но очевидно, что еще в то время людям были вполне известны свойства касательной к окружности.
В Новое время интерес к этому явлению разгорелся вновь - начался новый виток изучения этого понятия в сочетании с открытием новых кривых. Так, Галилей ввел понятие циклоиды, а Ферма и Декарт построили к ней касательную. Что же касается окружностей, кажется, еще для древних не осталось секретов в этой области.
Свойства
Радиус, проведенный в точку пересечения, будет Это
основное, но не единственное свойство, которое имеет касательная к окружности. Еще одна важная особенность включает в себя уже две прямые. Так, через одну точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные, при этом их отрезки будут равны. Есть и еще одна теорема по этой теме, однако ее редко проходят в рамках стандартного школьного курса, хотя для решения некоторых задач она крайне удобна. Звучит она следующим образом. Из одной точки, расположенной вне окружности, проведены касательная и секущая к ней. Образуются отрезки AB, AC и AD. А - пересечение прямых, B точка касания, C и D - пересечения. В этом случае будет справедливым следующее равенство: длина касательной к окружности, возведенная в квадрат, будет равна произведению отрезков AC и AD.
Из вышесказанного есть важное следствие. Для каждой точки окружности можно построить касательную, но при этом только одну. Доказательство этого достаточно просто: теоретически опустив на нее перпендикуляр из радиуса, выясняем, что образованный треугольник существовать не может. И это значит, что касательная - единственная.
Построение
Среди прочих задач по геометрии есть особая категория, как правило, не
пользующаяся любовью учеников и студентов. Для решения заданий из этой категории нужны лишь циркуль и линейка. Это задачи на построение. Есть они и на построение касательной.
Итак, даны окружность и точка, лежащая вне ее границ. И необходимо провести через них касательную. Как же это сделать? Прежде всего, нужно провести отрезок между центром окружности О и заданной точкой. Затем с помощью циркуля следует разделить его пополам. Чтобы это сделать, необходимо задать радиус - чуть более половины расстояния между центром изначальной окружности и данной точкой. После этого нужно построить две пересекающиеся дуги. Причем радиус у циркуля менять не надо, а центром каждой части окружности будут изначальная точка и О соответственно. Места пересечений дуг нужно соединить, что разделит отрезок пополам. Задать на циркуле радиус, равный этому расстоянию. Далее с центром в точке пересечения построить еще одну окружность. На ней будет лежать как изначальная точка, так и О. При этом будет еще два пересечения с данной в задаче окружностью. Именно они и будут точками касания для изначально заданной точки.
Именно построение касательных к окружности привело к рождению
дифференциального исчисления. Первый труд по этой теме был опубликован известным немецким математиком Лейбницем. Он предусматривал возможность нахождения максимумов, минимумов и касательных вне зависимости от дробных и иррациональных величин. Что ж, теперь оно используется и для многих других вычислений.
Кроме того, касательная к окружности связана с геометрическим смыслом тангенса. Именно от этого и происходит его название. В переводе с латыни tangens - "касательная". Таким образом, это понятие связано не только с геометрией и дифференциальным исчислением, но и с тригонометрией.
Две окружности
Не всегда касательная затрагивет лишь одну фигуру. Если к одной окружности можно провести огромное множество прямых, то почему же нельзя наоборот? Можно. Вот только задача в этом случае серьезно усложняется, ведь касательная к двум окружностям может проходить не через любые точки, а взаимное расположение всех этих фигур может быть очень
разным.
Типы и разновидности
Когда речь идет о двух окружностях и одной или нескольких прямых, то даже если известно, что это касательные, не сразу становится ясно, как все эти фигуры расположены по отношению друг к другу. Исходя из этого, различают несколько разновидностей. Так, окружности могут иметь одну или две общие точки или не иметь их вовсе. В первом случае они будут пересекаться, а во втором - касаться. И вот тут различают две разновидности. Если одна окружность как бы вложена во вторую, то касание называют внутренним, если нет - то внешним. Понять взаимное расположение фигур можно не только, исходя из чертежа, но и располагая информацией о сумме их радиусов и расстоянии между их центрами. Если две эти величины равны, то окружности касаются. Если первая больше - пересекаются, а если меньше - то не имеют общих точек.
Так же и с прямыми. Для любых двух окружностей, не имеющих общих точек, можно
построить четыре касательные. Две из них будут пересекаться между фигурами, они называются внутренними. Пара других - внешние.
Если речь идет об окружностях, которые имеют одну общую точку, то задача серьезно упрощается. Дело в том, что при любом взаимном расположении в этом случае касательная у них будет только одна. И проходить она будет через точку их пересечения. Так что построение трудности не вызовет.
Если же фигуры имеют две точки пересечения, то для них может быть построена прямая, касательная к окружности как одной, так и второй, но только внешняя. Решение этой проблемы аналогично тому, что будет рассмотрено далее.
Решение задач
Как внутренняя, так и внешняя касательная к двум окружностям, в построении не так уж просты, хоть эта проблема и решаема. Дело в том, что для этого используется вспомогательная фигура, так что додуматься до такого способа самостоятельно
довольно проблематично. Итак, даны две окружности с разным радиусом и центрами О1 и О2. Для них нужно построить две пары касательных.
Прежде всего, около центра большей окружности нужно построить вспомогательную. При этом на циркуле должна быть установлена разница между радиусами двух изначальных фигур. Из центра меньшей окружности строятся касательные к вспомогательной. После этого из О1 и О2 проводятся перепендикуляры к этим прямым до пересечения с изначальными фигурами. Как следует из основного свойства касательной, искомые точки на обеих окружностях найдены. Задача решена, по крайнем мере, ее первая часть.
Для того чтобы построить внутренние касательные, придется решить практически
аналогичную задачу. Снова понадобится вспомогательная фигура, однако на этот раз ее радиус будет равен сумме изначальных. К ней строятся касательные из центра одной из данных окружностей. Дальнейший ход решения можно понять из предыдущего примера.
Касательная к окружности или даже двум и больше - не такая уж сложная задача. Конечно, математики давно перестали решать подобные проблемы вручную и доверяют вычисления специальным программам. Но не стоит думать, что теперь необязательно уметь делать это самостоятельно, ведь для правильного формулирования задания для компьютера нужно многое сделать и понять. К сожалению, есть опасения, что после окончательного перехода на тестовую форму контроля знаний задачи на построение будут вызывать у учеников все больше трудностей.
Что же касается нахождения общих касательных для большего количества окружностей, это не всегда возможно, даже если они лежат в одной плоскости. Но в некоторых случаях можно найти такую прямую.
Примеры из жизни
Общая касательная к двум окружностям нередко встречается и на практике, хоть это и не всегда заметно. Конвейеры, блочные системы, передаточные ремни шкивов, натяжение нити в швейной машинке, да даже просто велосипедная цепь - все это примеры из жизни. Так что не стоит думать, что геометрические задачи остаются лишь в теории: в инженерном деле, физике, строительстве и многих других областях они находят практическое применение.